Teoria degli insiemi di Morse-Kelley - Morse–Kelley set theory

Nei fondamenti della matematica , la teoria degli insiemi di Morse-Kelley ( MK ), la teoria degli insiemi di Kelley-Morse ( KM ), la teoria degli insiemi di Morse-Tarski ( MT ), la teoria degli insiemi di Quine-Morse ( QM ) o il sistema di Quine e Morse è un teoria degli insiemi assiomatica del primo ordine che è strettamente correlata alla teoria degli insiemi di von Neumann-Bernays-Gödel (NBG). Mentre la teoria degli insiemi di von Neumann-Bernays-Gödel limita le variabili vincolate nella formula schematica che appare nello schema degli assiomi della Comprensione delle classi a spaziare solo sugli insiemi, la teoria degli insiemi di Morse-Kelley consente a queste variabili vincolate di spaziare su classi e insiemi propri , come suggerito per la prima volta da Quine nel 1940 per il suo sistema ML .

La teoria degli insiemi di Morse-Kelley prende il nome dai matematici John L. Kelley e Anthony Morse ed è stata elaborata per la prima volta da Wang (1949) e successivamente in un'appendice al libro di testo di Kelley General Topology (1955), un'introduzione di livello universitario alla topologia . Kelley ha detto che il sistema nel suo libro era una variante dei sistemi dovuti a Thoralf Skolem e Morse. La versione di Morse apparve più tardi nel suo libro A Theory of Sets (1965).

Mentre la teoria degli insiemi di von Neumann-Bernays-Gödel è un'estensione conservativa della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZFC, la teoria degli insiemi canonica) nel senso che un'affermazione nel linguaggio di ZFC è dimostrabile in NBG se e solo se è dimostrabile in ZFC, la teoria degli insiemi di Morse-Kelley è una corretta estensione di ZFC. A differenza della teoria degli insiemi di von Neumann-Bernays-Gödel, in cui lo schema di assiomi della comprensione delle classi può essere sostituito con un numero finito delle sue istanze, la teoria degli insiemi di Morse-Kelley non può essere assiomatizzata in modo finito.

Assiomi MK e ontologia

NBG e MK condividono un'ontologia comune . L' universo del discorso è costituito da classi . Le classi che sono membri di altre classi sono chiamate insiemi . Una classe che non è un insieme è una classe propria . Le frasi atomiche primitive implicano l'appartenenza o l'uguaglianza.

Ad eccezione della Comprensione di Classe, i seguenti assiomi sono gli stessi di NBG , dettagli inessenziali a parte. Le versioni simboliche degli assiomi utilizzano i seguenti dispositivi di notazione:

• Le lettere maiuscole diverse da M , che compaiono in Estensionalità, Comprensione di classe e Fondamento, indicano variabili che vanno oltre le classi. Una lettera minuscola denota una variabile che non può essere una classe propria , perché appare a sinistra di una . Poiché MK è una teoria ordinata, questa convenzione di notazione è solo mnemonica .
• Il predicato monadico la cui lettura intesa è "la classe x è un insieme", abbrevia ${\displaystyle\Mx,}$${\displaystyle\exists W(x\in W).}$
• L' insieme vuoto è definito da${\displaystyle \varnothing}$${\displaystyle \forall x(x\not \in \varnothing ).}$
• La classe V , la classe universale avente tutti i possibili insiemi come membri, è definita da V è anche l' universo di von Neumann .${\displaystyle \forall x(Mx\to x\in V).}$

Estensione : le classi che hanno gli stessi membri sono la stessa classe.

${\displaystyle \forall X\,\forall Y\,(\forall z\,(z\in X\leftrightarrow z\in Y)\rightarrow X=Y).}$

Un insieme e una classe aventi la stessa estensione sono identici. Quindi MK non è una teoria a due ordini, nonostante le apparenze contrarie.

Fondazione : ogni classe A non vuotaè disgiunta da almeno uno dei suoi membri.

${\displaystyle \forall A[A\not =\varnothing \rightarrow \exists b(b\in A\land \forall c(c\in b\rightarrow c\not\in A))].}$

Comprensione delle classi: Sia φ( x ) una qualsiasi formula nel linguaggio di MK in cui x è una variabile libera e Y non è libera. φ( x ) può contenere parametri che sono insiemi o classi proprie. Più di conseguenza, le variabili quantificate in φ( x ) possono spaziare su tutte le classi e non solo su tutti gli insiemi; questo è l'unico modo in cui MK differisce da NBG . Allora esiste una classe i cui membri sono esattamente quegli insiemi x tale che risulta vero. Formalmente, se Y non è libero in φ: ${\displaystyle Y=\{x\mid \phi (x)\}}$ ${\displaystyle \phi(x)}$

${\displaystyle \forall W_{1}...W_{n}\exists Y\forall x[x\in Y\leftrightarrow (\phi (x,W_{1},...W_{n})\land Mx)].}$

Accoppiamento : Per qualsiasi set x ed y , esiste un insiemei cui componenti sono esattamente x ed y . ${\displaystyle z=\{x,y\}}$

${\displaystyle \forall x\,\forall y\,[(Mx\land My)\rightarrow \exists z\,(Mz\land \forall s\,[s\in z\leftrightarrow (s=x\,\ lo \,s=y)])].}$

Licenze di accoppiamento la coppia non ordinata in base alla quale la coppia ordinata , , può essere definita nel modo consueto, come . Con le coppie ordinate in mano, Class Comprehension consente di definire relazioni e funzioni su insiemi come insiemi di coppie ordinate, rendendo possibile il prossimo assioma: ${\displaystyle\langle x,y\rangle}$${\displaystyle \ \{\{x\},\{x,y\}\}}$

Limitazione del formato : C è una classe propria se e solo se V può essere mappato uno-a-uno in C .

${\displaystyle {\begin{array}{l}\forall C[\lnot MC\leftrightarrow\exists F(\forall x[Mx\rightarrow\exists s(s\in C\land \langle x,s\rangle \ in F)]\land \\\qquad \forall x\forall y\forall s[(\langle x,s\rangle \in F\land \langle y,s\rangle \in F)\rightarrow x=y] )].\end{array}}}$

La versione formale di questo assioma assomiglia allo schema assioma della sostituzione e incorpora la funzione di classe F . La sezione successiva spiega come la limitazione della dimensione sia più forte delle forme usuali dell'assioma della scelta .

Insieme di potenze : Sia p una classe i cui membri sono tutti i possibili sottoinsiemi dell'insieme a . Allora p è un insieme.

${\displaystyle \forall a\,\forall p\,[(Ma\land \forall x\,[x\in p\leftrightarrow \forall y\,(y\in x\rightarrow y\in a)])\ freccia a destra Mp].}$

Unione : Siala classe somma dell'insieme a , cioè l' unione di tutti i membri di a . Allora s è un insieme. ${\displaystyle s=\bigcup a}$

${\displaystyle \forall a\,\forall s\,[(Ma\land \forall x\,[x\in s\leftrightarrow \exists y\,(x\in y\land y\in a)])\ freccia a destra Ms].}$

Infinito : Esiste un insieme induttivo y , il che significa che (i) l' insieme vuoto è membro di y ; (ii) se x è un membro di y , allora lo è anche. ${\displaystyle x\cup \{x\}.}$

${\displaystyle \exists y[My\land \varnothing\in y\land \forall z(z\in y\rightarrow \exists x[x\in y\land \forall w(w\in x\leftrightarrow [w= z\lor w\in z])])].}$

Si noti che p e s in Power Set e Union sono quantificati universalmente, non esistenzialmente, poiché la comprensione di classe è sufficiente per stabilire l'esistenza di p e s . Power Set e Union servono solo a stabilire che p e s non possono essere classi proprie.

Gli assiomi di cui sopra sono condivisi con altre teorie degli insiemi come segue:

• ZFC e NBG : Pairing, Power Set, Union, Infinity;
• NBG (e ZFC, se le variabili quantificate fossero limitate agli insiemi): Estensionalità, Fondamento;
• NBG : Limitazione delle dimensioni.

Discussione

Monk (1980) e Rubin (1967) sono testi di teoria degli insiemi costruiti attorno a MK; L' ontologia di Rubin include urelements . Questi autori e Mendelson (1997: 287) sostengono che MK fa ciò che ci si aspetta da una teoria degli insiemi pur essendo meno ingombrante di ZFC e NBG .

MK è strettamente più forte di ZFC e della sua estensione conservativa NBG, l'altra teoria degli insiemi ben nota con classi appropriate . In effetti, NBG, e quindi ZFC, può essere dimostrato coerente in MK. La forza di MK deriva dal suo schema assioma di Class Comprehension essendo impredicativo , il che significa che φ( x ) può contenere variabili quantificate che vanno oltre le classi. Le variabili quantificate nello schema di assiomi della comprensione delle classi di NBG sono limitate agli insiemi; quindi la comprensione delle classi in NBG deve essere predicativa . (La separazione rispetto agli insiemi è ancora impredicativa in NBG, perché i quantificatori in ( x ) possono variare su tutti gli insiemi.) Lo schema di assiomi NBG della Comprensione delle classi può essere sostituito con un numero finito delle sue istanze; questo non è possibile in MK. MK è coerente rispetto a ZFC aumentato da un assioma che afferma l'esistenza di cardinali fortemente inaccessibili .

L'unico vantaggio dell'assioma della limitazione delle dimensioni è che implica l' assioma della scelta globale . La limitazione delle dimensioni non appare in Rubin (1967), Monk (1980) o Mendelson (1997). Invece, questi autori invocano una forma usuale dell'assioma locale di scelta e un "assioma di sostituzione", affermando che se il dominio di una funzione di classe è un insieme, anche il suo intervallo è un insieme. La sostituzione può provare tutto ciò che dimostra la limitazione delle dimensioni, eccetto dimostrare una qualche forma dell'assioma della scelta .

La limitazione della dimensione più I essendo un insieme (quindi l'universo è non vuoto) rende dimostrabile l'insiemibilità dell'insieme vuoto; quindi non c'è bisogno di un assioma di insieme vuoto . Un tale assioma potrebbe essere aggiunto, naturalmente, e piccole perturbazioni degli assiomi di cui sopra richiederebbero questa aggiunta. L'insieme I non è identificato con l' ordinale limite in quanto I potrebbe essere un insieme maggiore di In questo caso, l'esistenza di deriverebbe da entrambe le forme di Limitazione delle dimensioni. ${\displaystyle \omega ,}$${\displaystyle\omega.}$${\displaystyle\omega}$

La classe degli ordinali di von Neumann può essere ben ordinata . Non può essere un insieme (sotto pena di paradosso); quindi quella classe è una classe propria, e tutte le classi proprie hanno la stessa dimensione di V . Quindi anche V può essere ben ordinato.

MK può essere confuso con ZFC di secondo ordine, ZFC con logica di secondo ordine (che rappresenta oggetti di secondo ordine in un insieme piuttosto che in linguaggio predicato) come logica di fondo. Il linguaggio di ZFC di secondo ordine è simile a quello di MK (sebbene un insieme e una classe aventi la stessa estensione non possano più essere identificati), e le loro risorse sintattiche per la prova pratica sono quasi identiche (e sono identiche se MK include il forte forma di limitazione delle dimensioni). Ma la semantica di ZFC di secondo ordine è abbastanza diversa da quella di MK. Ad esempio, se MK è coerente, ha un modello numerabile di primo ordine, mentre ZFC di secondo ordine non ha modelli numerabili.

Teoria dei modelli

ZFC, NBG e MK hanno modelli descrivibili in termini di V , l' universo di insiemi di von Neumann in ZFC . Sia il cardinale inaccessibile κ un membro di V . Sia anche Def( X ) denotare i Δ ₀ sottoinsiemi definibili di X (vedi universo costruibile ). Quindi:

• V _κ è modello di ZFC ;
• Def( V _κ ) è un modello della versione di Mendelson di NBG , che esclude la scelta globale, sostituendo la limitazione delle dimensioni con la sostituzione e la scelta ordinaria;
• V _κ+1 , l' insieme di potenza di V _κ , è un modello di MK.

Storia

MK è stato esposto per la prima volta in Wang (1949) e reso popolare in un'appendice alla Topologia generale di JL Kelley (1955) , utilizzando gli assiomi forniti nella sezione successiva. Il sistema di A Theory of Sets di Anthony Morse (1965) è equivalente a quello di Kelley, ma formulato in un linguaggio formale idiosincratico piuttosto che, come viene fatto qui, nella logica standard del primo ordine . La prima teoria degli insiemi a includere la comprensione di classe impredicativa fu ML di Quine , che si basava su New Foundations piuttosto che su ZFC . La comprensione di classe impredicativa è stata proposta anche in Mostowski (1951) e Lewis (1991).

Gli assiomi nella Topologia Generale di Kelley

Gli assiomi e le definizioni in questa sezione sono, ma per alcuni dettagli non essenziali, presi dall'Appendice a Kelley (1955). Le note esplicative che seguono non sono sue. L'Appendice enuncia 181 teoremi e definizioni e merita un'attenta lettura come esposizione abbreviata della teoria degli insiemi assiomatica da parte di un matematico di prim'ordine. Kelley ha introdotto i suoi assiomi gradualmente, secondo necessità per sviluppare gli argomenti elencati di seguito dopo ogni istanza di Sviluppo .

Le notazioni che appaiono di seguito e ora ben note non sono definite. Le peculiarità della notazione di Kelley includono:

• Egli ha non distinguere le variabili che vanno oltre le classi da quelli che vanno oltre gli insiemi;
• dominio f e intervallo f denotano il dominio e l'intervallo della funzione f ; questa peculiarità è stata di seguito attentamente rispettata;
• Il suo linguaggio logico primitivo include abstract di classe della forma "la classe di tutti gli insiemi x che soddisfa A ( x )."${\displaystyle \ \{x:A(x)\},}$

Definizione: x è un insieme (e quindi non una classe propriamente detta ) se, per qualche y , . ${\displaystyle x\in y}$

I. Estensione: Per ogni x e ogni y , x=y se e solo se per ogni z , quando e solo quando${\displaystyle z\in x}$${\displaystyle z\in y.}$

Identico all'estensionalità sopra. Sarei identico all'assioma dell'estensionalità in ZFC , tranne per il fatto che lo scopo di I include classi e insiemi appropriati.

II. Classificazione (schema): Un assioma risulta se in

Per ogni , se e solo se è un insieme e${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \beta \in \{\alpha :A\}}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle B,}$

'α' e 'β' sono sostituiti da variabili, ' A ' da una formula Æ e ' B ' dalla formula ottenuta da Æ sostituendo ogni occorrenza della variabile che ha sostituito α con la variabile che ha sostituito β a condizione che la variabile che sostituito β non appare vincolato in A .

Sviluppo : Algebra booleana degli insiemi . Esistenza della classe nulla e della classe universale V .

III. Sottoinsiemi: se x è un insieme, esiste un insieme y tale che per ogni z , se , allora${\displaystyle z\subseteq x}$${\displaystyle z\in y.}$

L'importazione di III è quella di Power Set sopra. Schema della dimostrazione della Potenza Insieme da III : per ogni classe z che è una sottoclasse dell'insieme x , la classe z è un membro dell'insieme y la cui esistenza III asserisce. Quindi z è un insieme.

Sviluppo : V non è un set. Esistenza di single . Separazione dimostrabile.

IV. Unione: Se x ed y sono entrambi i set, quindi è un insieme. ${\displaystyle x\cup y}$

L'importazione di IV è quella di Pairing sopra. Schema della dimostrazione di Pairing da IV : il singleton di un insieme x è un insieme perché è una sottoclasse dell'insieme delle potenze di x (per due applicazioni di III ). Poi IV implica che è un insieme se x ed y sono insiemi. ${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{x,y\}}$

Sviluppo : coppie non ordinate e ordinate , relazioni , funzioni , dominio , intervallo , composizione di funzioni .

V. Sostituzione: se f è una funzione [classe] e il dominio f è un insieme, allora l' intervallo f è un insieme.

L'importazione di V è quella dello schema assioma di sostituzione in NBG e ZFC .

VI. Amalgamazione: se x è un insieme, allora è un insieme. ${\displaystyle \bigcup x}$

L'importazione di VI è quella di Union di cui sopra. IV e VI possono essere combinati in un assioma.

Sviluppo : prodotto cartesiano , iniezione , suriezione , biiezione , teoria dell'ordine .

VII. Regolarità: se esiste un membro y di x tale che${\displaystyle x\neq \varnothing}$${\displaystyle x\cap y=\varnothing.}$

L'importanza di VII è quella di Foundation di cui sopra.

Sviluppare : Numeri ordinali , induzione transfinita .

VIII. Infinito: esiste un insieme y , tale che e ogni volta che${\displaystyle \varnothing \in y}$${\displaystyle x\cup \{x\}\in y}$${\displaystyle x\in y.}$

Questo assioma, o suoi equivalenti, sono inclusi in ZFC e NBG. VIII afferma l'esistenza incondizionata di due insiemi, l' insieme induttivo infinito y , e l'insieme nullo è un insieme semplicemente perché è un membro di y . Fino a questo punto, tutto ciò che è stato dimostrato esistere è una classe, e la discussione di Kelley sugli insiemi era del tutto ipotetica. ${\displaystyle \varnothing.}$ ${\displaystyle \varnothing}$

Sviluppare : Numeri naturali , N è un insieme, assiomi di Peano , interi , numeri razionali , numeri reali .

Definizione: c è una funzione di scelta se c è una funzione e per ogni membro x del dominio c . ${\displaystyle c(x)\in x}$

IX. Scelta: esiste una funzione di scelta c il cui dominio è . ${\displaystyle V-\{\varnothing \}.}$

IX è molto simile all'assioma della scelta globale derivabile dalla Limitazione delle dimensioni sopra.

Sviluppare : equivalenti dell'assioma della scelta. Come nel caso di ZFC , lo sviluppo dei numeri cardinali richiede una qualche forma di scelta.

Se l'ambito di tutte le variabili quantificate negli assiomi di cui sopra è limitato agli insiemi, tutti gli assiomi tranne III e lo schema IV sono assiomi ZFC. IV è dimostrabile in ZFC. Quindi il trattamento Kelley di MK rende molto chiaro che tutto ciò che distingue MK da ZFC sono variabili che vanno su classi e insiemi appropriati e lo schema di classificazione.

Appunti

Riferimenti

• John L. Kelley 1975 (1955) Topologia generale . Springer. Ed. precedente, Van Nostrand. Appendice, "Teoria elementare degli insiemi".
• Lemmon, EJ (1986) Introduzione alla teoria degli insiemi assiomatica . Routledge e Kegan Paul.
• David K. Lewis (1991) Parti delle classi . Oxford: Basil Blackwell.
• Mendelson, Elliott (1997). Introduzione alla logica matematica . Chapman & Hall. ISBN 0-534-06624-0.La trattazione definitiva della teoria degli insiemi strettamente correlata NBG , seguita da una pagina su MK. Più difficile di Monk o Rubin.
• Monk, J. Donald (1980) Introduzione alla teoria degli insiemi . Krieger. Più facile e meno approfondito di Rubin.
• Morse, AP, (1965) Una teoria degli insiemi . stampa accademica.
• Mostowski, Andrzej (1950), "Alcune definizioni impredicative nella teoria degli insiemi assiomatica" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 37 : 111-124, doi : 10.4064/fm-37-1-111-124.
• Rubin, Jean E. (1967) Teoria degli insiemi per il matematico . San Francisco: Giorno di Holden. Più accurato di Monk; l'ontologia include urelements .
• Wang, Hao (1949), "Sugli assiomi di Zermelo e von Neumann per la teoria degli insiemi", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 35 (3): 150–155, doi : 10.1073/pnas.35.3.150 , JSTOR  88430 , MR  0029850 , PMC  1062986 , PMID  16588874.

link esterno

• Scarica General Topology (1955) di John L. Kelley in vari formati. L'appendice contiene lo sviluppo assiomatico di MK di Kelley.

Dal gruppo di discussione sui fondamenti della matematica (FOM):

• Allen Hazen sulla teoria degli insiemi con le lezioni.
• I dubbi di Joseph Shoenfield su MK.