Assioma della scelta - Axiom of choice

Illustrazione dell'assioma della scelta, con ogni S i e x i rappresentati rispettivamente come un vaso e una biglia colorata
(S i ) è una famiglia indicizzata infinita di insiemi indicizzati sui numeri reali R ; cioè, c'è un insieme S i per ogni numero reale i , con un piccolo campione mostrato sopra. Ogni insieme contiene almeno uno, e forse infiniti, elementi. L'assioma della scelta permette di selezionare arbitrariamente un singolo elemento da ciascun insieme, formando una corrispondente famiglia di elementi ( x i ) anch'essi indicizzati sui numeri reali, con x i tratto da S i . In generale, le collezioni possono essere indicizzate su qualsiasi insieme I , (chiamato insieme indice quali elementi sono usati come indici per elementi in un insieme) non solo R .

In matematica , l' assioma della scelta , o AC , è un assioma della teoria degli insiemi equivalente all'affermazione che un prodotto cartesiano di un insieme di insiemi non vuoti è non vuoto . In parole povere, l'assioma della scelta dice che data una qualsiasi raccolta di contenitori, ciascuno contenente almeno un oggetto, è possibile effettuare una selezione di esattamente un oggetto da ciascun contenitore, anche se la raccolta è infinita . Formalmente afferma che per ogni famiglia indicizzata di insiemi non vuoti esiste una famiglia indicizzata di elementi tale che per ogni . L'assioma della scelta fu formulato nel 1904 da Ernst Zermelo per formalizzare la sua dimostrazione del teorema di buon ordinamento .

In molti casi, tale selezione può essere effettuata senza invocare l'assioma della scelta; questo è in particolare il caso se il numero di insiemi è finito, o se è disponibile una regola di selezione, una proprietà distintiva che vale esattamente per un elemento in ciascun insieme. Un esempio illustrativo sono gli insiemi prelevati dai numeri naturali. Da tali insiemi si può sempre selezionare il numero più piccolo, ad esempio dati gli insiemi {{4, 5, 6}, {10, 12}, {1, 400, 617, 8000}} l'insieme contenente ogni elemento più piccolo è {4 , 10, 1}. In questo caso, "seleziona il numero più piccolo" è una funzione di scelta . Anche se dai numeri naturali si raccogliessero infiniti insiemi, sarà sempre possibile scegliere l'elemento più piccolo di ogni insieme per produrre un insieme. Cioè, la funzione di scelta fornisce l'insieme degli elementi scelti. Tuttavia, non è nota alcuna funzione di scelta per la raccolta di tutti i sottoinsiemi non vuoti dei numeri reali (se ci sono reali non costruibili ). In tal caso, deve essere invocato l'assioma della scelta.

Bertrand Russell ha coniato un'analogia: per qualsiasi collezione (anche infinita) di paia di scarpe, si può scegliere la scarpa sinistra da ogni paio per ottenere una selezione appropriata; questo permette di definire direttamente una funzione di scelta. Per una collezione infinita di paia di calzini (che si presume non abbiano caratteristiche distintive), non esiste un modo ovvio per creare una funzione che selezioni un calzino da ogni paio, senza invocare l'assioma della scelta.

Sebbene originariamente controverso, l'assioma della scelta è ora utilizzato senza riserve dalla maggior parte dei matematici ed è incluso nella forma standard della teoria degli insiemi assiomatica , la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel con l'assioma della scelta ( ZFC ). Una motivazione per questo uso è che un certo numero di risultati matematici generalmente accettati, come il teorema di Tychonoff , richiedono l'assioma della scelta per le loro dimostrazioni. I teorici degli insiemi contemporanei studiano anche assiomi che non sono compatibili con l'assioma della scelta, come l' assioma della determinazione . L'assioma della scelta è evitato in alcune varietà di matematica costruttiva , sebbene ci siano varietà di matematica costruttiva in cui è abbracciato l'assioma della scelta.

Dichiarazione

Una funzione di scelta (detta anche selettore o selezione) è una funzione f , definita su una raccolta X di insiemi non vuoti, tale che per ogni insieme A in X , f ( A ) è un elemento di A . Con questo concetto, l'assioma può essere affermato:

Assioma  —  Per ogni insieme X di insiemi non vuoti, esiste una funzione di scelta f definita su X e mappa ogni insieme di X a un elemento dell'insieme.

Formalmente, questo può essere espresso come segue:

Quindi, la negazione dell'assioma della scelta afferma che esiste una collezione di insiemi non vuoti che non ha funzione di scelta. ( , quindi dov'è la negazione.)

Ogni funzione di scelta su una collezione X di insiemi non vuoti è un elemento del prodotto cartesiano degli insiemi in X . Questa non è la situazione più generale di un prodotto cartesiano di una famiglia di insiemi, dove un dato insieme può comparire più di una volta come fattore; tuttavia, ci si può concentrare su elementi di tale prodotto che selezionano lo stesso elemento ogni volta che un dato insieme appare come fattore, e tali elementi corrispondono a un elemento del prodotto cartesiano di tutti gli insiemi distinti della famiglia. L'assioma della scelta afferma l'esistenza di tali elementi; è quindi equivalente a:

Data una qualsiasi famiglia di insiemi non vuoti, il loro prodotto cartesiano è un insieme non vuoto.

Nomenclatura ZF, AC e ZFC

In questo articolo e in altre discussioni sull'assioma della scelta sono comuni le seguenti abbreviazioni:

  • AC – l'assioma della scelta.
  • ZF – Teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel omettendo l'assioma della scelta.
  • ZFC - Teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel, estesa per includere l'assioma della scelta.

varianti

Ci sono molte altre affermazioni equivalenti dell'assioma della scelta. Questi sono equivalenti nel senso che, in presenza di altri assiomi fondamentali della teoria degli insiemi, implicano l'assioma della scelta e sono da esso implicati.

Una variante evita l'uso delle funzioni di scelta, in effetti, sostituendo ogni funzione di scelta con il suo intervallo.

Dato un qualsiasi insieme X di insiemi non vuoti disgiunti a coppie , esiste almeno un insieme C che contiene esattamente un elemento in comune con ciascuno degli insiemi in X .

Ciò garantisce per ogni partizione di un insieme X l'esistenza di un sottoinsieme C di X contenente esattamente un elemento da ciascuna parte della partizione.

Un altro assioma equivalente considera solo le collezioni X che sono essenzialmente powerset di altri insiemi:

Per ogni insieme A, l' insieme di potenza di A (con l'insieme vuoto rimosso) ha una funzione di scelta.

Gli autori che usano questa formulazione parlano spesso della funzione di scelta su A , ma questa è una nozione di funzione di scelta leggermente diversa. Il suo dominio è l'insieme di potenza di A (con l'insieme vuoto rimosso), e quindi ha senso per qualsiasi insieme A , mentre con la definizione usata altrove in questo articolo, il dominio di una funzione di scelta su una raccolta di insiemi è quella raccolta, e quindi ha senso solo per insiemi di insiemi. Con questa nozione alternativa di funzione di scelta, l'assioma di scelta può essere enunciato in modo compatto come

Ogni set ha una funzione di scelta.

che è equivalente a

Per ogni insieme A esiste una funzione f tale che per ogni sottoinsieme non vuoto B di A , f ( B ) giace in B .

La negazione dell'assioma può quindi essere espressa come:

Esiste un insieme A tale che per tutte le funzioni f (sull'insieme dei sottoinsiemi non vuoti di A ), esiste un B tale che f ( B ) non risieda in B .

Limitazione agli insiemi finiti

L'enunciato dell'assioma della scelta non specifica se la collezione di insiemi non vuoti è finita o infinita, e quindi implica che ogni collezione finita di insiemi non vuoti ha una funzione di scelta. Tuttavia, quel caso particolare è un teorema della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel senza l'assioma della scelta (ZF); è facilmente dimostrabile per induzione matematica . Nel caso ancora più semplice di una raccolta di un insieme, una funzione di scelta corrisponde solo a un elemento, quindi questa istanza dell'assioma di scelta dice che ogni insieme non vuoto ha un elemento; questo vale banalmente. L'assioma della scelta può essere visto come l'affermazione della generalizzazione di questa proprietà, già evidente per gli insiemi finiti, agli insiemi arbitrari.

utilizzo

Fino alla fine del XIX secolo, l'assioma della scelta veniva spesso utilizzato implicitamente, sebbene non fosse ancora stato formalmente affermato. Ad esempio, dopo aver stabilito che l'insieme X contiene solo insiemi non vuoti, un matematico potrebbe aver detto "sia F(s) uno dei membri di s per tutti gli s in X " per definire una funzione F . In generale, è impossibile dimostrare che F esiste senza l'assioma della scelta, ma questo sembra essere passato inosservato fino a Zermelo .

Non tutte le situazioni richiedono l'assioma della scelta. Per gli insiemi finiti X , l'assioma della scelta segue dagli altri assiomi della teoria degli insiemi. In tal caso equivale a dire che se abbiamo più scatole (un numero finito di) ciascuna contenente almeno un oggetto, allora possiamo scegliere esattamente un oggetto da ciascuna scatola. Chiaramente possiamo fare questo: partiamo dalla prima casella, scegliamo un elemento; vai alla seconda casella, scegli un elemento; e così via. Il numero di caselle è finito, quindi alla fine la nostra procedura di scelta termina. Il risultato è una funzione di scelta esplicita: una funzione che porta la prima casella al primo elemento che abbiamo scelto, la seconda casella al secondo elemento che abbiamo scelto e così via. (Una dimostrazione formale per tutti gli insiemi finiti userebbe il principio di induzione matematica per dimostrare "per ogni numero naturale k , ogni famiglia di k insiemi non vuoti ha una funzione di scelta.") Questo metodo non può, tuttavia, essere usato per dimostrare che ogni numerabile famiglia di insiemi non vuoti ha una funzione di scelta, come affermato dall'assioma della scelta numerabile . Se si applica il metodo a una sequenza infinita ( X i  : i ∈ω) di insiemi non vuoti, si ottiene una funzione ad ogni stadio finito, ma non c'è uno stadio in cui si costruisca una funzione di scelta per l'intera famiglia, e non c'è " funzione di scelta limite" può essere costruita, in generale, in ZF senza l'assioma di scelta.

Esempi

La natura dei singoli insiemi non vuoti nella collezione può consentire di evitare l'assioma della scelta anche per certe collezioni infinite. Ad esempio, supponiamo che ogni membro della raccolta X sia un sottoinsieme non vuoto dei numeri naturali. Ciascuno di questi sottoinsieme ha un elemento più piccolo, quindi per specificare la nostra funzione di scelta possiamo semplicemente dire che mappa ogni insieme all'elemento minimo di quell'insieme. Questo ci dà una scelta definita di un elemento da ogni insieme e rende superfluo applicare l'assioma della scelta.

La difficoltà appare quando non c'è una scelta naturale di elementi da ogni set. Se non possiamo fare scelte esplicite, come facciamo a sapere che il nostro insieme esiste? Ad esempio, supponiamo che X sia l'insieme di tutti i sottoinsiemi non vuoti dei numeri reali . Per prima cosa potremmo provare a procedere come se X fosse finito. Se proviamo a scegliere un elemento da ogni insieme, allora, poiché X è infinito, la nostra procedura di scelta non avrà mai fine e, di conseguenza, non saremo mai in grado di produrre una funzione di scelta per tutto X . Successivamente potremmo provare a specificare l'elemento minimo di ogni insieme. Ma alcuni sottoinsiemi dei numeri reali non hanno elementi minimi. Ad esempio, l' intervallo aperto (0,1) non ha un elemento minimo: se x è in (0,1), allora lo è anche x /2, e x /2 è sempre strettamente minore di x . Quindi anche questo tentativo fallisce.

Inoltre, si consideri ad esempio il cerchio unitario S , e l'azione su S di un gruppo G costituito da tutte le rotazioni razionali. Vale a dire, queste sono rotazioni di angoli che sono multipli razionali  π . Qui G è numerabile mentre S è non numerabile. Quindi S si scompone in innumerevoli orbite sotto  G . Utilizzando l'assioma di scelta, potremmo prendere un singolo punto da ciascuna orbita, ottenendo un sottoinsieme non numerabile X di S con la proprietà che tutte le sue traslazioni per G sono disgiunte da  X . L'insieme di questi traduce partiziona il cerchio in una raccolta numerabile di insiemi disgiunti, che sono tutti congruenti a coppie. Poiché X non è misurabile per nessuna misura finita numerabile additiva invariante alla rotazione su S , trovare un algoritmo per selezionare un punto in ciascuna orbita richiede l'assioma di scelta. Vedere set non misurabile per maggiori dettagli.

La ragione per cui siamo in grado di scegliere elementi minimi da sottoinsiemi dei numeri naturali è il fatto che i numeri naturali sono ben ordinati : ogni sottoinsieme non vuoto dei numeri naturali ha un unico elemento minimo sotto l'ordinamento naturale. Si potrebbe dire: "Anche se il solito ordinamento dei numeri reali non funziona, potrebbe essere possibile trovare un diverso ordinamento dei numeri reali che è un buon ordinamento. Allora la nostra funzione di scelta può scegliere il minimo elemento di ogni insieme sotto il nostro ordine insolito." Il problema diventa allora quello di costruire un buon ordinamento, che risulta richiedere per la sua esistenza l'assioma della scelta; ogni insieme può essere ben ordinato se e solo se vale l'assioma della scelta.

Critica e accettazione

Una dimostrazione che richiede l'assioma della scelta può stabilire l'esistenza di un oggetto senza definire esplicitamente l'oggetto nel linguaggio della teoria degli insiemi. Ad esempio, mentre l'assioma della scelta implica che vi sia un buon ordinamento dei numeri reali, esistono modelli di teoria degli insiemi con l'assioma della scelta in cui non è definibile un buon ordinamento dei numeri reali. Allo stesso modo, sebbene si possa dimostrare l'esistenza di un sottoinsieme dei numeri reali che non è misurabile secondo Lebesgue utilizzando l'assioma della scelta, è coerente che tale insieme non sia definibile.

L'assioma della scelta dimostra l'esistenza di questi intangibles (oggetti di cui si prova l'esistenza, ma che non possono essere esplicitamente costruiti), che possono entrare in conflitto con alcuni principi filosofici. Poiché non esiste un buon ordinamento canonico di tutti gli insiemi, una costruzione che si basa su un buon ordinamento potrebbe non produrre un risultato canonico, anche se si desidera un risultato canonico (come spesso accade nella teoria delle categorie ). Questo è stato usato come argomento contro l'uso dell'assioma della scelta.

Un altro argomento contro l'assioma della scelta è che implica l'esistenza di oggetti che possono sembrare controintuitivi. Un esempio è il paradosso di Banach-Tarski che dice che è possibile scomporre la sfera solida tridimensionale in un numero finito di pezzi e, usando solo rotazioni e traslazioni, rimontare i pezzi in due sfere solide ciascuna con lo stesso volume dell'originale . I pezzi in questa scomposizione, costruiti utilizzando l'assioma della scelta, sono insiemi non misurabili .

Nonostante questi fatti apparentemente paradossali , la maggior parte dei matematici accetta l'assioma della scelta come un principio valido per dimostrare nuovi risultati in matematica. Il dibattito è abbastanza interessante, tuttavia, che è considerato degno di nota quando un teorema in ZFC (ZF più AC) è logicamente equivalente (con solo gli assiomi ZF) all'assioma della scelta, e i matematici cercano risultati che richiedono l'assioma di scelta sia falsa, sebbene questo tipo di deduzione sia meno comune del tipo che richiede che l'assioma della scelta sia vero.

È possibile dimostrare molti teoremi utilizzando né l'assioma della scelta né la sua negazione; tali affermazioni saranno vere in qualsiasi modello di ZF, indipendentemente dalla verità o falsità dell'assioma di scelta in quel particolare modello. La restrizione a ZF rende indimostrabile qualsiasi affermazione che si basi sull'assioma della scelta o sulla sua negazione. Ad esempio, il paradosso Banach-Tarski non è né dimostrabile né confutabile da ZF da solo: è impossibile costruire la decomposizione richiesta della palla unitaria in ZF, ma anche impossibile dimostrare che non esiste tale decomposizione. Allo stesso modo, tutte le affermazioni elencate di seguito che richiedono una scelta o una loro versione più debole per la loro dimostrazione non sono dimostrabili in ZF, ma poiché ciascuna è dimostrabile in ZF più l'assioma della scelta, ci sono modelli di ZF in cui ciascuna affermazione è vera. Affermazioni come il paradosso Banach-Tarski possono essere riformulate come affermazioni condizionali, ad esempio: "Se AC tiene, allora esiste la scomposizione nel paradosso Banach-Tarski". Tali affermazioni condizionali sono dimostrabili in ZF quando le affermazioni originali sono dimostrabili da ZF e dall'assioma della scelta.

Nella matematica costruttiva

Come discusso in precedenza, in ZFC, l'assioma della scelta è in grado di fornire " prove non costruttive " in cui viene dimostrata l'esistenza di un oggetto sebbene non venga costruito alcun esempio esplicito. ZFC, tuttavia, è ancora formalizzato nella logica classica. L'assioma della scelta è stato studiato approfonditamente anche nel contesto della matematica costruttiva, dove viene impiegata la logica non classica. Lo stato dell'assioma della scelta varia tra le diverse varietà di matematica costruttiva.

Nella teoria dei tipi di Martin-Löf e nell'aritmetica di Heyting di ordine superiore , l'affermazione appropriata dell'assioma di scelta è (a seconda dell'approccio) inclusa come assioma o dimostrabile come teorema. Errett Bishop ha sostenuto che l'assioma della scelta era costruttivamente accettabile, dicendo:

Una funzione di scelta esiste nella matematica costruttiva, perché una scelta è implicita nel significato stesso dell'esistenza.

Nella teoria costruttiva degli insiemi , tuttavia, il teorema di Diaconescu mostra che l'assioma della scelta implica la legge del terzo escluso (a differenza della teoria dei tipi di Martin-Löf, dove non lo fa). Quindi l'assioma della scelta non è generalmente disponibile nella teoria costruttiva degli insiemi. Una causa di questa differenza è che l'assioma della scelta nella teoria dei tipi non ha le proprietà di estensionalità che ha l'assioma della scelta nella teoria costruttiva degli insiemi.

Alcuni risultati nella teoria costruttiva degli insiemi utilizzano l' assioma della scelta numerabile o l' assioma della scelta dipendente , che non implicano la legge del terzo escluso nella teoria costruttiva degli insiemi. Sebbene l'assioma della scelta numerabile in particolare sia comunemente usato nella matematica costruttiva, anche il suo uso è stato messo in discussione.

Indipendenza

Nel 1938 Kurt Gödel dimostrò che la negazione dell'assioma della scelta non è un teorema di ZF costruendo un modello interno (l' universo costruibile ) che soddisfa ZFC e dimostrando così che ZFC è consistente se ZF stesso è consistente. Nel 1963, Paul Cohen impiegò la tecnica della forzatura , sviluppata a questo scopo, per dimostrare che, assumendo che ZF sia coerente, l'assioma della scelta in sé non è un teorema di ZF. Lo ha fatto costruendo un modello molto più complesso che soddisfa ZF¬C (ZF con la negazione di AC aggiunta come assioma) e mostrando così che ZF¬C è coerente.

Insieme, questi risultati stabiliscono che l'assioma della scelta è logicamente indipendente da ZF. L'assunto che ZF sia coerente è innocuo perché aggiungere un altro assioma a un sistema già incoerente non può peggiorare la situazione. A causa dell'indipendenza, la decisione se utilizzare l'assioma della scelta (o la sua negazione) in una dimostrazione non può essere presa facendo appello ad altri assiomi della teoria degli insiemi. La decisione deve essere presa per altri motivi.

Un argomento dato a favore dell'uso dell'assioma della scelta è che è conveniente usarlo perché consente di dimostrare alcune proposizioni semplificatrici che altrimenti non potrebbero essere dimostrate. Molti teoremi dimostrabili con la scelta sono di elegante carattere generale: ogni ideale di un anello è contenuto in un ideale massimale , ogni spazio vettoriale ha una base , e ogni prodotto di spazi compatti è compatto. Senza l'assioma della scelta, questi teoremi potrebbero non valere per oggetti matematici di grande cardinalità.

La dimostrazione del risultato dell'indipendenza mostra anche che un'ampia classe di proposizioni matematiche, comprese tutte le proposizioni che possono essere formulate nel linguaggio dell'aritmetica di Peano , sono dimostrabili in ZF se e solo se sono dimostrabili in ZFC. Le affermazioni in questa classe includono l'affermazione che P = NP , l' ipotesi di Riemann e molti altri problemi matematici irrisolti. Quando si tenta di risolvere problemi in questa classe, non fa differenza se si utilizza ZF o ZFC se l'unica domanda è l'esistenza di una dimostrazione. È possibile, tuttavia, che ci sia una dimostrazione più breve di un teorema da ZFC che da ZF.

L'assioma della scelta non è l'unica affermazione significativa indipendente da ZF. Ad esempio, l' ipotesi del continuo generalizzato (GCH) non è solo indipendente da ZF, ma anche indipendente da ZFC. Tuttavia, ZF più GCH implica AC, rendendo GCH un'affermazione strettamente più forte di AC, anche se sono entrambi indipendenti da ZF.

Assiomi più forti

L' assioma della costruibilità e l' ipotesi del continuo generalizzato implicano ciascuno l'assioma della scelta e quindi sono strettamente più forti di esso. Nelle teorie di classe come la teoria degli insiemi di Von Neumann-Bernays-Gödel e la teoria degli insiemi di Morse-Kelley , esiste un assioma chiamato assioma della scelta globale che è più forte dell'assioma della scelta per gli insiemi perché si applica anche alle classi proprie. L'assioma della scelta globale segue dall'assioma della limitazione delle dimensioni . L'assioma di Tarski, che viene utilizzato nella teoria degli insiemi di Tarski-Grothendieck e afferma (in volgare) che ogni insieme appartiene a qualche universo di Grothendieck , è più forte dell'assioma della scelta.

equivalenti

Ci sono affermazioni importanti che, assumendo gli assiomi di ZF ma né AC né ¬AC, sono equivalenti all'assioma della scelta. I più importanti tra questi sono il lemma di Zorn e il teorema di buon ordinamento . Zermelo, infatti, introdusse inizialmente l'assioma della scelta per formalizzare la sua dimostrazione del teorema di buon ordinamento.

Teoria delle categorie

Ci sono diversi risultati nella teoria delle categorie che invocano l'assioma della scelta per la loro dimostrazione. Questi risultati potrebbero essere più deboli, equivalenti o più forti dell'assioma di scelta, a seconda della forza dei fondamenti tecnici. Ad esempio, se si definiscono categorie in termini di insiemi, cioè come insiemi di oggetti e morfismi (di solito chiamati una piccola categoria ), o anche localmente piccole categorie, i cui hom-oggetti sono insiemi, allora non esiste una categoria di tutti gli insiemi , e quindi è difficile che una formulazione della teoria delle categorie si applichi a tutti gli insiemi. D'altra parte, altre descrizioni fondamentali della teoria delle categorie sono considerevolmente più forti e un'affermazione di scelta identica della teoria delle categorie può essere più forte della formulazione standard, à la teoria delle classi, menzionata sopra.

Esempi di affermazioni teoriche di categoria che richiedono una scelta includono:

  • Ogni piccola categoria ha uno scheletro .
  • Se due piccole categorie sono debolmente equivalenti, allora sono equivalenti .
  • Ogni funtore continuo su una categoria piccolo-completo che soddisfa l'appropriata condizione di insieme di soluzioni ha un aggiunto a sinistra (il teorema del funtore aggiunto di Freyd).

Forme più deboli

Ci sono diverse affermazioni più deboli che non sono equivalenti all'assioma della scelta, ma sono strettamente correlate. Un esempio è l' assioma della scelta dipendente (DC). Un esempio ancora più debole è l' assioma della scelta numerabile (AC ω o CC), che afferma che esiste una funzione di scelta per qualsiasi insieme numerabile di insiemi non vuoti. Questi assiomi sono sufficienti per molte prove nell'analisi matematica elementare e sono coerenti con alcuni principi, come la misurabilità di Lebesgue di tutti gli insiemi di reali, che sono confutabili dall'assioma completo della scelta.

Altri assiomi di scelta più deboli dell'assioma di scelta includono il teorema dell'ideale primo booleano e l' assioma di uniformizzazione . Il primo è equivalente in ZF al lemma dell'ultrafiltro del 1930 di Tarski : ogni filtro è un sottoinsieme di qualche ultrafiltro .

Risultati che richiedono AC (o forme più deboli) ma più deboli di essa

Uno degli aspetti più interessanti dell'assioma della scelta è il gran numero di posti in matematica che presenta. Ecco alcune affermazioni che richiedono l'assioma della scelta nel senso che non sono dimostrabili da ZF ma sono dimostrabili da ZFC (ZF più AC). Equivalentemente, queste affermazioni sono vere in tutti i modelli di ZFC ma false in alcuni modelli di ZF.

Implicazioni possibilmente equivalenti di AC

Ci sono diverse affermazioni di teoria degli insiemi storicamente importanti implicate da AC la cui equivalenza ad AC è aperta. Il principio di partizione, che è stato formulato prima della stessa AC, è stato citato da Zermelo come giustificazione per credere ad AC. Nel 1906 Russell dichiarò che PP era equivalente, ma se il principio di partizione implicasse AC è ancora il problema aperto più antico nella teoria degli insiemi, e le equivalenze delle altre affermazioni sono analogamente vecchi problemi aperti. In ogni modello noto di ZF in cui la scelta fallisce, falliscono anche queste affermazioni, ma non si sa se possono reggere senza scelta.

  • Insiemistica
    • Principio di partizione: se c'è una suriezione da A a B , c'è un'iniezione da B ad A . Equivalentemente, ogni partizione P di un insieme S è inferiore o uguale a S di dimensione.
    • Teorema di Schröder-Bernstein di Converse : se due insiemi hanno suriezioni tra loro, sono equinumeri.
    • Principio della partizione debole: una partizione di un insieme S non può essere strettamente maggiore di S . Se WPP è valido, ciò implica già l'esistenza di un insieme non misurabile. Ognuna delle tre affermazioni precedenti è implicita nella precedente, ma non si sa se qualcuna di queste implicazioni possa essere invertita.
    • Non esiste una sequenza decrescente infinita di cardinali. L'equivalenza fu ipotizzata da Schoenflies nel 1905.
  • Algebra astratta
    • Hahn incorporamento Teorema : Ogni gruppo ordinato abeliano G ordine embeds come sottogruppo del gruppo di additivi dotato di un ordine lessicografico , dove Ω è l'insieme di classi di equivalenza archimedee di G . Questa equivalenza fu ipotizzata da Hahn nel 1907.

Forme più forti della negazione di AC

Se abbreviamo con BP l'affermazione che ogni insieme di numeri reali ha la proprietà di Baire , allora BP è più forte di ¬AC, il che afferma l'inesistenza di qualsiasi funzione di scelta forse solo su un singolo insieme di insiemi non vuoti. Le negazioni rafforzate possono essere compatibili con forme indebolite di CA. Ad esempio, ZF + DC + BP è coerente, se ZF lo è.

È anche coerente con ZF + DC che ogni insieme di reali è misurabile secondo Lebesgue ; tuttavia, questo risultato di consistenza, dovuto a Robert M. Solovay , non può essere dimostrato nello stesso ZFC, ma richiede una mite ipotesi cardinale grande (l'esistenza di un cardinale inaccessibile ). L' assioma molto più forte di determinatezza , o AD, implica che ogni insieme di reali è misurabile di Lebesgue, ha la proprietà di Baire e ha la proprietà dell'insieme perfetto (tutti e tre questi risultati sono confutati dalla stessa AC). ZF + DC + AD è coerente a condizione che sia coerente un assioma cardinale sufficientemente grande (l'esistenza di infiniti cardinali di Woodin ).

Il sistema di teoria degli insiemi assiomatica di Quine, "New Foundations" (NF), prende il nome dal titolo ("New Foundations for Mathematical Logic") dell'articolo del 1937 che lo introdusse. Nel sistema assiomatico NF, l'assioma della scelta può essere confutato.

Dichiarazioni coerenti con la negazione di AC

Ci sono modelli della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel in cui l'assioma della scelta è falso. Abbrevieremo "Teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel più la negazione dell'assioma della scelta" con ZF¬C. Per alcuni modelli di ZF¬C è possibile dimostrare la negazione di alcuni fatti standard. Qualsiasi modello di ZF¬C è anche un modello di ZF, quindi per ciascuna delle seguenti affermazioni esiste un modello di ZF in cui tale affermazione è vera.

  • In alcuni modelli, c'è un insieme che può essere partizionato in più classi di equivalenza rispetto a quelle che l'insieme originale ha elementi, e una funzione il cui dominio è strettamente più piccolo del suo intervallo. In effetti, questo è il caso in tutti i modelli conosciuti .
  • Esiste una funzione f dai numeri reali ai numeri reali tale che f non è continua in a , ma f è sequenzialmente continua in a , cioè per ogni successione { x n } convergente in a , lim n f( x n ) =f(a).
  • In alcuni modelli esiste un insieme infinito di numeri reali senza un sottoinsieme numerabile infinito.
  • In alcuni modelli, i numeri reali sono un'unione numerabile di insiemi numerabili. Ciò non implica che i numeri reali siano numerabili: come indicato sopra, per dimostrare che un'unione numerabile di insiemi numerabili è essa stessa numerabile richiede l' assioma della scelta numerabile .
  • In alcuni modelli esiste un campo senza chiusura algebrica.
  • In tutti i modelli di ZF¬C esiste uno spazio vettoriale senza base.
  • In alcuni modelli esiste uno spazio vettoriale con due basi di cardinalità diverse.
  • In alcuni modelli esiste un'algebra booleana completa libera su un numero numerabile di generatori.
  • In alcuni modelli c'è un insieme che non può essere ordinato linearmente .
  • Esiste un modello di ZF¬C in cui ogni insieme in R n è misurabile . Quindi è possibile escludere risultati controintuitivi come il paradosso di Banach-Tarski che sono dimostrabili in ZFC. Inoltre, ciò è possibile assumendo l' Assioma della scelta dipendente , che è più debole di AC ma sufficiente per sviluppare la maggior parte dell'analisi reale .
  • In tutti i modelli di ZF¬C, l' ipotesi del continuo generalizzato non vale .

Per le prove, vedere Jech (2008) .

Inoltre, imponendo condizioni di definibilità agli insiemi (nel senso della teoria descrittiva degli insiemi ) si possono spesso dimostrare versioni ristrette dell'assioma di scelta da assiomi incompatibili con la scelta generale. Ciò appare, ad esempio, nel lemma di codifica di Moschovakis .

Assioma di scelta nella teoria dei tipi

Nella teoria dei tipi , un diverso tipo di affermazione è noto come assioma della scelta. Questa forma inizia con due tipi, σ e τ, e una relazione R tra oggetti di tipo e oggetti di tipo τ. L'assioma della scelta afferma che se per ogni x di tipo σ esiste una y di tipo τ tale che R ( x , y ), allora esiste una funzione f da oggetti di tipo σ ad oggetti di tipo τ tale che R ( x , f ( x )) vale per tutti gli x di tipo σ:

A differenza della teoria degli insiemi, l'assioma di scelta nella teoria dei tipi è tipicamente affermato come uno schema di assiomi , in cui R varia su tutte le formule o su tutte le formule di una particolare forma logica.

Citazioni

L'assioma della scelta è ovviamente vero, il principio di buon ordinamento ovviamente falso, e chi può dire del lemma di Zorn ?

—  Jerry Bona

Questo è uno scherzo: sebbene i tre siano tutti matematicamente equivalenti, molti matematici trovano che l'assioma della scelta sia intuitivo, il principio di buon ordinamento controintuitivo e il lemma di Zorn troppo complesso per qualsiasi intuizione.

L'assioma della scelta è necessario per selezionare un set da un numero infinito di paia di calze, ma non da un numero infinito di paia di scarpe.

L'osservazione qui è che si può definire una funzione per selezionare da un numero infinito di paia di scarpe affermando, ad esempio, di scegliere una scarpa sinistra. Senza l'assioma della scelta, non si può affermare che tale funzione esista per le paia di calzini, perché i calzini sinistro e destro sono (presumibilmente) indistinguibili.

Tarski tentò di pubblicare il suo teorema [l'equivalenza tra AC e "ogni insieme infinito A ha la stessa cardinalità di A × A ", vedi sopra] in Comptes Rendus , ma Fréchet e Lebesgue si rifiutarono di presentarlo. Fréchet ha scritto che un'implicazione tra due ben note [vere] proposizioni non è un risultato nuovo, e Lebesgue ha scritto che un'implicazione tra due false proposizioni non è di alcun interesse.

Il matematico polacco-americano Jan Mycielski racconta questo aneddoto in un articolo del 2006 negli Avvisi dell'AMS.

L'assioma prende il nome non perché i matematici lo preferiscano ad altri assiomi.

—  AK Dewdney

Questa citazione è tratta dal famoso articolo di April Fools' Day nella colonna delle ricreazioni al computer dello Scientific American , aprile 1989.

Appunti

Riferimenti

Tradotto in: Jean van Heijenoort , 2002. Da Frege a Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 . Nuova edizione. Pressa dell'Università di Harvard . ISBN  0-674-32449-8
  • 1904. "La prova che ogni set può essere ben ordinato", 139-41.
  • 1908. "Indagini sui fondamenti della teoria degli insiemi I", 199-215.

link esterno