Cardinale inaccessibile - Inaccessible cardinal

Nella teoria degli insiemi , un cardinale non numerabile è inaccessibile se non può essere ottenuto da cardinali più piccoli con le normali operazioni dell'aritmetica cardinale . Più precisamente, un cardinale è fortemente inaccessibile se non è numerabile, non è una somma di meno di cardinali che sono minori di , e implica . ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \alpha <\kappa }$${\displaystyle 2^{\alpha }<\kappa }$

Il termine "cardinale inaccessibile" è ambiguo. Fino al 1950 circa significava "cardinale debolmente inaccessibile", ma da allora in genere significa "cardinale fortemente inaccessibile". Un cardinale non numerabile è debolmente inaccessibile se è un normale cardinale con limite debole . È fortemente inaccessibile, o semplicemente inaccessibile, se è un cardinale di limite forte regolare (questo è equivalente alla definizione data sopra). Alcuni autori non richiedono che i cardinali debolmente e fortemente inaccessibili siano non numerabili (nel qual caso è fortemente inaccessibile). I cardinali debolmente inaccessibili furono introdotti da Hausdorff (1908) e quelli fortemente inaccessibili da Sierpiński & Tarski (1930) e Zermelo (1930) . ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Ogni cardinale fortemente inaccessibile è anche debolmente inaccessibile, poiché ogni cardinale limite forte è anche cardinale limite debole. Se vale l' ipotesi del continuo generalizzato , allora un cardinale è fortemente inaccessibile se e solo se è debolmente inaccessibile.

${\displaystyle \aleph _{0}}$( aleph-null ) è un cardinale di limite forte regolare. Assumendo l' assioma di scelta , ogni altro numero cardinale infinito è regolare o un limite (debole). Tuttavia, solo un numero cardinale piuttosto grande può essere entrambi e quindi debolmente inaccessibile.

Un ordinale è un cardinale debolmente inaccessibile se e solo se è un ordinale regolare ed è un limite di ordinali regolari. (Zero, uno e sono ordinali regolari, ma non limiti di ordinali regolari.) Un cardinale che è debolmente inaccessibile e anche un cardinale con limite forte è fortemente inaccessibile. ${\displaystyle\omega}$

Il presupposto dell'esistenza di un cardinale fortemente inaccessibile viene talvolta applicato sotto forma di presupposto che si possa lavorare all'interno di un universo di Grothendieck , essendo le due idee intimamente connesse.

Modelli e consistenza

Insiemistica Zermelo-Fraenkel con scelta (ZFC) implica che il V _κ è un modello di ZFC quando κ è fortemente inaccessibile. E ZF implica che l' Gödel universo L _κ è un modello di ZFC ogni volta κ è debolmente inaccessibile. Quindi, ZF insieme a "esiste un cardinale debolmente inaccessibile" implica che ZFC è coerente. Pertanto, i cardinali inaccessibili sono un tipo di cardinale grande .

Se V è un modello standard di ZFC e κ è inaccessibile a V , allora: V _κ è uno dei modelli previsti di insiemistica Zermelo-Fraenkel ; e Def( V _κ ) è uno dei modelli previsti della versione di Mendelson della teoria degli insiemi di Von Neumann–Bernays–Gödel che esclude la scelta globale, sostituendo la limitazione delle dimensioni con la sostituzione e la scelta ordinaria; e V _{κ +1} è uno dei modelli previsti della teoria degli insiemi di Morse-Kelley . Qui Def ( X ) è il Δ ₀ sottoinsiemi definibili di X (vedi universo costruibile ). Tuttavia, κ non ha bisogno di essere inaccessibili, o anche un numero cardinale, affinché V _kappa essere un modello standard di ZF (vedi sotto ).

Supponiamo che V sia un modello di ZFC. O V contiene forte inaccessibile o, prendendo κ essere il più piccolo forte inaccessibile a V, V _κ è un modello standard di ZFC che non contiene inaccessibles forti. Pertanto, la coerenza di ZFC implica la coerenza di ZFC+ "non ci sono forti inaccessibili". Analogamente, sia V contiene debole inaccessibile o, prendendo κ essere il più piccolo ordinale che è debolmente inaccessibile relativi a qualsiasi sub-modello standard di V, allora L _κ è un modello standard di ZFC che non contiene inaccessibles deboli. Quindi la coerenza di ZFC implica la coerenza di ZFC + "non ci sono inaccessibili deboli". Ciò dimostra che ZFC non può dimostrare l'esistenza di un cardinale inaccessibile, quindi ZFC è coerente con la non esistenza di cardinali inaccessibili.

La questione se ZFC sia coerente con l'esistenza di un cardinale inaccessibile è più sottile. La dimostrazione abbozzata nel paragrafo precedente che la consistenza di ZFC implica la consistenza di ZFC + "non c'è un cardinale inaccessibile" può essere formalizzata in ZFC. Tuttavia, supponendo che ZFC sia coerente, nessuna prova che la coerenza di ZFC implichi la coerenza di ZFC + "c'è un cardinale inaccessibile" può essere formalizzata in ZFC. Ciò segue dal secondo teorema di incompletezza di Gödel , che mostra che se ZFC + "c'è un cardinale inaccessibile" è coerente, allora non può dimostrare la propria consistenza. Poiché ZFC + "c'è un cardinale inaccessibile" dimostra la consistenza di ZFC, se ZFC dimostrasse che la propria consistenza implica la consistenza di ZFC + "c'è un cardinale inaccessibile" allora quest'ultima teoria sarebbe in grado di dimostrare la propria consistenza, che è impossibile se è coerente.

Ci sono argomenti per l'esistenza di cardinali inaccessibili che non possono essere formalizzati in ZFC. Uno di questi argomenti, presentato da Hrbáček & Jech (1999 , p. 279), è che la classe di tutti gli ordinali di un particolare modello M di teoria degli insiemi sarebbe essa stessa un cardinale inaccessibile se esistesse un modello più ampio di teoria degli insiemi che estendesse M e conservando il powerset degli elementi di M .

Esistenza di una propria classe di inaccessibili

Ci sono molti assiomi importanti nella teoria degli insiemi che affermano l'esistenza di una classe propria di cardinali che soddisfano un predicato di interesse. Nel caso dell'inaccessibilità, l'assioma corrispondente è l'asserzione che per ogni cardinale μ , esiste un cardinale inaccessibile κ che è strettamente più grande, μ < κ . Pertanto, questo assioma garantisce l'esistenza di una torre infinita di cardinali inaccessibili (e può essere occasionalmente indicato come assioma cardinale inaccessibile). Come nel caso dell'esistenza di qualsiasi cardinale inaccessibile, l'assioma cardinalizio inaccessibile non è dimostrabile dagli assiomi di ZFC. Assumendo ZFC, l'assioma cardinale inaccessibile è equivalente all'assioma dell'universo di Grothendieck e Verdier : ogni insieme è contenuto in un universo di Grothendieck . Gli assiomi di ZFC insieme all'assioma dell'universo (o equivalentemente all'assioma cardinale inaccessibile) sono indicati con ZFCU (che potrebbe essere confuso con ZFC con urelements ). Questo sistema assiomatico è utile per dimostrare ad esempio che ogni categoria ha un'appropriata immersione Yoneda .

Questo è un grande assioma cardinale relativamente debole poiché equivale a dire che è 1-inaccessibile nel linguaggio della sezione successiva, dove ∞ denota il minimo ordinale non in V, cioè la classe di tutti gli ordinali nel tuo modello.

α -cardinali inaccessibili e cardinali iper-inaccessibili

Il termine " α -cardinale inaccessibile" è ambiguo e diversi autori utilizzano definizioni non equivalenti. Una definizione è che un cardinale κ è detto α -inaccessibile , per α qualsiasi ordinale, se κ è inaccessibile e per ogni ordinale β < α , l'insieme di β -inaccessibili minori di κ è illimitato in κ (e quindi di cardinalità κ , poiché κ è regolare). In questo caso i cardinali 0-inaccessibili sono gli stessi dei cardinali fortemente inaccessibili. Un'altra possibile definizione è che un cardinale κ si chiama α -weakly inaccessibile se κ è regolare e per ogni ordinale β < α , l'insieme di beta inaccessibles -weakly meno di κ è illimitato in κ. In questo caso i cardinali 0-debolmente inaccessibili sono i cardinali regolari e i cardinali 1-debolmente inaccessibili sono i cardinali debolmente inaccessibili.

I cardinali α -inaccessibili possono anche essere descritti come punti fissi di funzioni che contano gli inaccessibili inferiori. Ad esempio, Indichiamo con ψ ₀ ( λ ) il λ ^th cardinale inaccessibile, allora i punti fissi di ψ ₀ sono cardinali 1-inaccessibili. Lasciando poi ψ _β ( λ ) il λ ^th β cardinale -inaccessible, i punti fissi di ψ _β sono le ( beta +1) cardinali -inaccessible (valori ψ _{p +1} ( λ )). Se α è un ordinale limite, un α -inaccessibile è un punto fisso di ogni ψ _β per β < α (il valore ψ _α ( λ ) è il λ- ^{esimo di} tale cardinale). Questo processo di prendere punti fissi di funzioni che generano cardinali successivamente più grandi si incontra comunemente nello studio dei grandi numeri cardinali .

Il termine iper-inaccessibile è ambiguo e ha almeno tre significati incompatibili. Molti autori lo usano per indicare un limite regolare di cardinali fortemente inaccessibili (1-inaccessibile). Altri autori usano per significare che κ è κ -inaccessible. (Non può mai essere κ +1-inaccessibile.) Occasionalmente è usato per indicare il cardinale di Mahlo .

Anche il termine α -iper-inaccessibile è ambiguo. Alcuni autori lo usano per indicare α -inaccessibile. Altri autori usano la definizione che per ogni ordinale α , un cardinale κ è α -iper-inaccessibile se e solo se κ è iper-inaccessibile e per ogni ordinale β < α , l'insieme degli β -iper-inaccessibili minori di κ è illimitato in κ .

Cardinali iper-iper-inaccessibili e così via possono essere definiti in modi simili, e come al solito questo termine è ambiguo.

Usando "debolmente inaccessibile" invece di "inaccessibile", definizioni simili possono essere fatte per "debolmente α -inaccessibile", "debolmente iper-inaccessibile" e "debolmente α -iper-inaccessibile".

I cardinali di Mahlo sono inaccessibili, iper-inaccessibili, iper-iper-inaccessibili, ... e così via.

Due caratterizzazioni modello-teoriche dell'inaccessibilità

In primo luogo, un cardinale κ è inaccessibile se e solo se κ ha la seguente proprietà di riflessione : per tutti i sottoinsiemi U ⊂ V _κ , esiste α < κ tale che sia una sottostruttura elementare di . (Infatti, l'insieme di tale α è chiuso illimitato in κ .) Equivalentemente, κ è - indescrivibile per ogni n ≥ 0. ${\displaystyle (V_{\alpha },\in,U\cap V_{\alpha })}$${\displaystyle (V_{\kappa },\in,U)}$${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$

È dimostrabile in ZF che soddisfa una proprietà di riflessione un po' più debole, in cui la sottostruttura (V _α , ∈, U ∩ V _α ) è richiesta solo per essere 'elementare' rispetto a un insieme finito di formule. In definitiva, la ragione di questo indebolimento è che mentre la relazione di soddisfazione teoria-modello può essere definita, la verità stessa non può, a causa del teorema di Tarski . ${\displaystyle \models}$

In secondo luogo, sotto ZFC si può dimostrare che κ è inaccessibile se e solo se (V _κ , ∈) è un modello di secondo ordine ZFC.

In questo caso, per la proprietà di riflessione sopra, esiste α < κ tale che (V _α , ∈) è un modello standard di ( primo ordine ) ZFC. Quindi, l'esistenza di un cardinale inaccessibile è un'ipotesi più forte dell'esistenza di un modello standard di ZFC.

Guarda anche

• Mahlo cardinale
• Set di mazze
• Modello interno
• Universo von Neumann
• Universo costruibile

Opere citate