Assioma della scelta globale - Axiom of global choice

In matematica , in particolare nelle teorie di classe , l' assioma della scelta globale è una variante più forte dell'assioma della scelta che si applica alle classi appropriate di insiemi così come agli insiemi di insiemi. Informalmente afferma che si può scegliere simultaneamente un elemento da ogni insieme non vuoto .

Dichiarazione

L'assioma della scelta globale afferma che esiste una funzione di scelta globale τ, ovvero una funzione tale che per ogni insieme non vuoto z , τ ( z ) è un elemento di z .

L'assioma della scelta globale non può essere affermato direttamente nel linguaggio di ZFC ( Teoria degli insiemi di Zermelo –Fraenkel con l'assioma della scelta), poiché la funzione di scelta τ è una classe propria e in ZFC non si può quantificare sulle classi. Si può affermare aggiungendo un nuovo simbolo di funzione τ al linguaggio di ZFC, con la proprietà che τ è una funzione di scelta globale. Questa è un'estensione conservativa di ZFC: ogni affermazione dimostrabile di questa teoria estesa che può essere affermata nel linguaggio di ZFC è già dimostrabile in ZFC ( Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973 , p.72). In alternativa, Gödel ha mostrato che dato l' assioma della costruibilità si può scrivere una funzione di scelta esplicita (sebbene alquanto complicata) τ nel linguaggio di ZFC, quindi in un certo senso l'assioma della costruibilità implica una scelta globale (infatti, (ZFC lo dimostra) nel linguaggio esteso dal simbolo di funzione unaria τ, l'assioma di costruibilità implica che se τ è detta funzione esplicitamente definibile, allora questa τ è una funzione di scelta globale. E quindi la scelta globale vale moralmente, con τ come testimone ).

Nel linguaggio della teoria degli insiemi di von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) e della teoria degli insiemi di Morse-Kelley , l'assioma della scelta globale può essere affermato direttamente ( Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973 , p.133), ed è equivalente a varie altre affermazioni:

Nella teoria degli insiemi di von Neumann – Bernays – Gödel, la scelta globale non aggiunge alcuna conseguenza sugli insiemi (classi non proprie) al di là di quanto si sarebbe potuto dedurre dall'assioma ordinario della scelta.

La scelta globale è una conseguenza dell'assioma della limitazione delle dimensioni .

Riferimenti

  • Fraenkel, Abraham A .; Bar-Hillel, Yehoshua ; Levy, Azriel (1973), Fondamenti della teoria degli insiemi , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 67 (Seconda revisione ed.), Amsterdam-London: North-Holland Publishing Co., ISBN   978-0720422702 , MR   0345816
  • Jech, Thomas , 2003. Teoria degli insiemi: edizione del terzo millennio, rivista ed ampliata . Springer. ISBN   3-540-44085-2 .
  • John L. Kelley ; Topologia generale ; ISBN   0-387-90125-6