Unione (teoria degli insiemi) - Union (set theory)
Nella teoria degli insiemi , l' unione (indicata con ) di una raccolta di insiemi è l'insieme di tutti gli elementi della raccolta. È una delle operazioni fondamentali attraverso le quali gli insiemi possono essere combinati e messi in relazione tra loro. UN nullary union si riferisce a un'unione dizero()set ed è per definizione ugualeall'insieme vuoto.
Per la spiegazione dei simboli utilizzati in questo articolo, fare riferimento alla tabella dei simboli matematici .
Unione di due insiemi
L'unione di due insiemi A e B è l'insieme di elementi che si trovano in A , in B , o in entrambi A e B . Nei simboli,
- .
Ad esempio, se A = {1, 3, 5, 7} e B = {1, 2, 4, 6, 7} allora A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Un esempio più elaborato (che coinvolge due insiemi infiniti) è:
- A = { x è un intero pari maggiore di 1}
- B = { x è un numero intero dispari maggiore di 1}
Per fare un altro esempio, il numero 9 non è contenuto nell'unione dell'insieme dei numeri primi {2, 3, 5, 7, 11, ...} e dell'insieme dei numeri pari {2, 4, 6, 8, 10 , ...}, perché 9 non è né primo né pari.
Gli insiemi non possono avere elementi duplicati, quindi l'unione degli insiemi {1, 2, 3} e {2, 3, 4} è {1, 2, 3, 4}. Più occorrenze di elementi identici non hanno effetto sulla cardinalità di un insieme o sui suoi contenuti.
Proprietà algebriche
L'unione binaria è un'operazione associativa ; cioè, per ogni insieme A , B e C ,
Quindi le parentesi possono essere omesse senza ambiguità: entrambe le precedenti possono essere scritte come A ∪ B ∪ C . Inoltre, l'unione è commutativa , quindi gli insiemi possono essere scritti in qualsiasi ordine. L' insieme vuoto è un elemento di identità per l'operazione di unione. Cioè, A ∪ ∅ = A , per ogni insieme A. Inoltre, l'operazione di unione è idempotente: A ∪ A = A . Tutte queste proprietà derivano da fatti analoghi sulla disgiunzione logica .
L'intersezione distribuisce sull'unione
e l'unione distribuisce sull'intersezione
L' insieme delle potenze di un insieme U , insieme alle operazioni date da unione, intersezione e complementazione , è un'algebra booleana . In questa algebra booleana, l'unione può essere espressa in termini di intersezione e complementazione con la formula
dove l'apice denota il complemento nell'insieme universale U .
unioni finite
Si può prendere l'unione di più insiemi contemporaneamente. Ad esempio, l'unione di tre insiemi A , B e C contiene tutti gli elementi di A , tutti gli elementi di B e tutti gli elementi di C e nient'altro. Quindi, x è un elemento di A ∪ B ∪ C se e solo se x è in almeno uno di A , B e C .
Un'unione finita è l'unione di un numero finito di insiemi; la frase non implica che l'insieme dell'unione sia un insieme finito .
sindacati arbitrari
La nozione più generale è l'unione di un insieme arbitrario di insiemi, talvolta chiamata unione infinita . Se M è un insieme o una classe i cui elementi sono insiemi, allora x è un elemento dell'unione di M se e solo se esiste almeno un elemento A di M tale che x è un elemento di A . Nei simboli:
Questa idea riassume le sezioni precedenti: per esempio, A ∪ B ∪ C è l'unione della raccolta { A , B , C }. Inoltre, se M è l'insieme vuoto, allora l'unione di M è l'insieme vuoto.
notazioni
La notazione per il concetto generale può variare considerevolmente. Per un'unione finita di insiemi si scrive spesso o . Varie notazioni comuni per le unioni arbitrarie includono , , e . L'ultima di queste notazioni si riferisce all'unione della collezione , dove I è un insieme di indici ed è un insieme per ogni . Nel caso in cui l'insieme indice I sia l'insieme dei numeri naturali , si usa la notazione , che è analoga a quella delle somme infinite in serie.
Quando il simbolo "∪" viene posizionato prima di altri simboli (invece che tra di essi), di solito viene visualizzato con una dimensione maggiore.
Codifica della notazione
In Unicode, l'unione è rappresentata dal carattere U+222A ∪ UNION . In TeX , è reso da \cup.
Guarda anche
- Algebra degli insiemi
- Alternanza (teoria del linguaggio formale) , l'unione di insiemi di stringhe
- Assioma di unione
- Unione disgiunta
- Intersezione (teoria degli insiemi)
- Operazione binaria iterata
- Elenco delle identità e delle relazioni tra insiemi
- Teoria degli insiemi ingenua
- Differenza simmetrica
Appunti
link esterno
- "Union of sets" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Infinite Union and Intersection at ProvenMath Le leggi di De Morgan formalmente dimostrate dagli assiomi della teoria degli insiemi.