Set infinito - Infinite set
Nella teoria degli insiemi , un insieme infinito è un insieme che non è un insieme finito . Gli insiemi infiniti possono essere numerabili o non numerabili .
Proprietà
L'insieme dei numeri naturali (la cui esistenza è postulata dall'assioma dell'infinito ) è infinito. È l'unico insieme che è direttamente richiesto dagli assiomi per essere infinito. L'esistenza di qualsiasi altro insieme infinito può essere dimostrata nella teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZFC), ma solo dimostrando che deriva dall'esistenza dei numeri naturali.
Un insieme è infinito se e solo se per ogni numero naturale, l'insieme ha un sottoinsieme la cui cardinalità è quel numero naturale.
Se l' assioma della scelta vale, allora un insieme è infinito se e solo se include un sottoinsieme infinito numerabile.
Se un insieme di insiemi è infinito o contiene un elemento infinito, la sua unione è infinita. Il potere di un insieme infinito è infinito. Qualsiasi superset di un insieme infinito è infinito. Se un insieme infinito è partizionato in un numero finito di sottoinsiemi, almeno uno di essi deve essere infinito. Qualsiasi insieme che può essere mappato su un insieme infinito è infinito. Il prodotto cartesiano di un insieme infinito e di un insieme non vuoto è infinito. Il prodotto cartesiano di un numero infinito di insiemi, ciascuno contenente almeno due elementi, è vuoto o infinito; se l'assioma della scelta vale, allora è infinito.
Se un insieme infinito è un insieme ben ordinato , deve avere un sottoinsieme non vuoto, non banale che non ha elementi più grandi.
In ZF, un insieme è infinito se e solo se l' insieme di potenze del suo insieme di potenze è un insieme di Dedekind-infinito , avente un proprio sottoinsieme uguale a se stesso. Se anche l'assioma della scelta è vero, allora gli insiemi infiniti sono precisamente gli insiemi infiniti di Dedekind.
Se un insieme infinito è un insieme ben ordinabile , allora ha molti ben ordinamenti che sono non isomorfi.
Esempi
Insiemi numerabilmente infiniti
L'insieme di tutti i numeri interi , {..., -1, 0, 1, 2, ...} è un insieme numerabile infinito. L'insieme di tutti gli interi pari è anche un insieme infinitamente numerabile, anche se è un sottoinsieme appropriato degli interi.
L'insieme di tutti i numeri razionali è un insieme infinitamente numerabile poiché esiste una biiezione all'insieme degli interi.
Insiemi infiniti e innumerevoli
L'insieme di tutti i numeri reali è un insieme innumerevole e infinito. Anche l'insieme di tutti i numeri irrazionali è un insieme innumerevole e infinito.