L'universo di Grothendieck - Grothendieck universe

In matematica , un universo di Grothendieck è un insieme U con le seguenti proprietà:

1. Se x è un elemento di U e se y è un elemento di x , allora y è anche un elemento di U . ( U è un insieme transitivo .)
2. Se x ed y sono entrambi elementi di U , allora è un elemento di U .${\ displaystyle \ {x, y \}}$
3. Se x è un elemento di U , allora P ( x ), l' insieme potenza di x , è anche un elemento di U .
4. Se è una famiglia di elementi di U , e se mi è un elemento di U , allora l'unione è un elemento di U .${\ displaystyle \ {x _ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ in I}}$${\ displaystyle \ bigcup _ {\ alpha \ in I} x _ {\ alpha}}$

Un universo di Grothendieck ha lo scopo di fornire un insieme in cui tutta la matematica può essere eseguita. (In effetti, gli innumerevoli universi di Grothendieck forniscono modelli di teoria degli insiemi con la relazione ∈ naturale, l'operazione di powerset naturale ecc.). Gli elementi di un universo di Grothendieck sono talvolta chiamati piccoli set . L'idea degli universi è dovuta ad Alexander Grothendieck , che li ha usati come un modo per evitare classi appropriate di geometria algebrica .

L'esistenza di un universo Grothendieck non banale va oltre i consueti assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel ; in particolare implicherebbe l'esistenza di cardinali fortemente inaccessibili . La teoria degli insiemi di Tarski-Grothendieck è un trattamento assiomatico della teoria degli insiemi, utilizzata in alcuni sistemi di dimostrazione automatica, in cui ogni insieme appartiene a un universo di Grothendieck. Il concetto di un universo Grothendieck può anche essere definito in un topos .

Proprietà

Ad esempio, dimostreremo una proposta facile.

Proposta . Se e , allora .${\ displaystyle x \ in U}$${\ displaystyle y \ subseteq x}$${\ displaystyle y \ in U}$

Prova. perché . perché , così .${\ displaystyle y \ in P (x)}$${\ displaystyle y \ subseteq x}$${\ displaystyle P (x) \ in U}$${\ displaystyle x \ in U}$${\ displaystyle y \ in U}$

È altrettanto facile dimostrare che qualsiasi universo U di Grothendieck contiene:

• Tutti i singleton di ciascuno dei suoi elementi,
• Tutti i prodotti di tutte le famiglie di elementi di U indicizzati da un elemento di U ,
• Tutte le unioni disgiunte di tutte le famiglie di elementi di U indicizzate da un elemento di U ,
• Tutte le intersezioni di tutte le famiglie di elementi di U indicizzate da un elemento di U ,
• Tutte le funzioni tra due elementi qualsiasi di U e
• Tutti i sottoinsiemi di U il cui cardinale è un elemento di U .

In particolare, dall'ultimo assioma segue che se U non è vuoto, deve contenere tutti i suoi sottoinsiemi finiti e un sottoinsieme di ogni cardinalità finita. Si può anche provare immediatamente dalle definizioni che l'intersezione di qualsiasi classe di universi è un universo.

Universi di Grothendieck e cardinali inaccessibili

Ci sono due semplici esempi di universi di Grothendieck:

• Il set vuoto e
• L'insieme di tutti gli insiemi ereditari finiti .${\ displaystyle V _ {\ omega}}$

Altri esempi sono più difficili da costruire. In parole povere, questo perché gli universi di Grothendieck sono equivalenti a cardinali fortemente inaccessibili . Più formalmente, i due assiomi seguenti sono equivalenti:

(U) Per ogni insieme x , esiste un universo di grothendieck U tale che x ∈ U .

(C) Per ogni cardinale κ, c'è un cardinale λ fortemente inaccessibile che è strettamente più grande di κ.

Per provare questo fatto, introduciamo la funzione c ( U ). Definire:

${\ displaystyle \ mathbf {c} (U) = \ sup _ {x \ in U} | x |}$

dove da | x | si intende la cardinalità di x . Allora per ogni universo U , c ( U ) è zero o fortemente inaccessibile. Supponendo che è diverso da zero, è un forte limite cardinale perché l'insieme potenza di ogni elemento di U è un elemento di U e ogni elemento di U è un sottoinsieme di U . Per vedere che è regolare, supponiamo che c _λ sia un insieme di cardinali indicizzati da I , dove la cardinalità di I e di ogni c _λ è minore di c ( U ). Poi, per la definizione di c ( U ), I ed ogni c _λ può essere sostituito da un elemento di U . L'unione di elementi di U indicizzati da un elemento di U è un elemento di U , quindi la somma di c _λ ha la cardinalità di un elemento di U , quindi è minore di c ( U ). Invocando l'assioma di fondazione, che nessun insieme è contenuto in se stesso, si può dimostrare che c ( U ) è uguale a | U |; quando l'assioma di fondazione non è assunto, ci sono controesempi (possiamo prendere ad esempio U come l'insieme di tutti gli insiemi finiti di insiemi finiti ecc. degli insiemi x _α dove l'indice α è un qualsiasi numero reale, e x _α = { x _α } per ogni α . Allora U ha la cardinalità del continuum, ma tutti i suoi membri hanno cardinalità finita e così  ; vedi l'articolo di Bourbaki per maggiori dettagli). ${\ displaystyle \ mathbf {c} (U) = \ aleph _ {0}}$

Sia κ un cardinale fortemente inaccessibile. Diciamo che un insieme S è strettamente di tipo κ se per ogni sequenza s _n ∈ ... ∈ s ₀ ∈ S , | s _n | < κ . ( S stessa corrisponde alla sequenza vuota.) Quindi l'insieme u ( κ ) di tutti gli insiemi strettamente di tipo κ è un universo di Grothendieck di cardinalità κ. La prova di questo fatto è lunga, quindi per i dettagli, rimandiamo nuovamente all'articolo di Bourbaki, elencato nei riferimenti.

Per mostrare che l'assioma cardinale grande (C) implica l'assioma dell'universo (U), scegli un insieme x . Sia x ₀ = x , e per ogni n , sia x _{n +1} = x _n l'unione degli elementi di x _n . Sia y = x _n . Con (C), c'è un cardinale κ fortemente inaccessibile tale che | y | <κ. Sia u ( κ ) l'universo del paragrafo precedente. x è strettamente di tipo κ, quindi x ∈ u ( κ ). Per mostrare che l'assioma dell'universo (U) implica l'assioma cardinale grande (C), scegli un cardinale κ. κ è un set, quindi è un elemento dell'universo U di Grothendieck . La cardinalità di U è fortemente inaccessibile e strettamente maggiore di quella di κ. ${\ displaystyle \ bigcup}$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {n}}$

In effetti, qualsiasi universo di Grothendieck ha la forma u ( κ ) per qualche κ. Ciò fornisce un'altra forma di equivalenza tra gli universi di Grothendieck e cardinali fortemente inaccessibili:

Per qualsiasi universo Grothendieck U , | U | è zero o un cardinale fortemente inaccessibile. E se κ è zero, o un cardinale fortemente inaccessibile, allora c'è un universo di Grothendieck u (κ). Inoltre, u (| U |) = U e | u ( κ ) | = κ .${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Poiché l'esistenza di cardinali fortemente inaccessibili non può essere provata dagli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZFC), l'esistenza di universi diversi dall'insieme vuoto e non può essere provata neanche da ZFC. Tuttavia, i cardinali fortemente inaccessibili sono all'estremità inferiore dell'elenco dei grandi cardinali ; così, la maggior parte delle teorie degli insiemi che utilizzano cardinali di grandi dimensioni (come "ZFC più c'è un cardinale misurabile ", "ZFC più ci sono infiniti cardinali di Woodin ") proveranno che esistono gli universi di Grothendieck. ${\ displaystyle V _ {\ omega}}$

Guarda anche

• Universo costruibile
• Universo (matematica)
• Universo di Von Neumann

Appunti

Riferimenti

• Bourbaki, Nicolas (1972). "Univers" . In Michael Artin ; Alexandre Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (a cura di). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-1964 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 (Lecture Notes in Mathematics 269 ) (in francese). Berlino; New York: Springer-Verlag . pagg. 185–217.