Grado di trascendenza - Transcendence degree

In algebra astratta , il grado di trascendenza di un'estensione di campo L / K è una certa misura piuttosto grossolana della "dimensione" dell'estensione. In particolare, è definita come la più grande cardinalità di un sottoinsieme algebricamente indipendente di L su K .

Un sottoinsieme S di L è una base di trascendenza di L / K se è algebricamente indipendente su K e se inoltre L è un'estensione algebrica del campo K ( S ) (il campo ottenuto congiungendo gli elementi di S a K ). Si può dimostrare che ogni estensione di campo ha una base di trascendenza, e che tutte le basi di trascendenza hanno la stessa cardinalità; questa cardinalità è uguale al grado di trascendenza dell'estensione ed è indicata con trdeg _K  L o trdeg( L / K ).

Se non viene specificato alcun campo K , il grado di trascendenza di un campo L è il suo grado relativo al campo primo della stessa caratteristica , cioè Q se L è di caratteristica 0 e F _p se L è di caratteristica p .

L'estensione di campo L / K è puramente trascendente se esiste un sottoinsieme S di L che è algebricamente indipendente su K e tale che L = K ( S ).

Esempi

• Un'estensione è algebrica se e solo se il suo grado di trascendenza è 0; l' insieme vuoto serve qui come base di trascendenza.
• Il campo delle funzioni razionali in n variabili K ( x ₁ ,..., x _n ) è un'estensione puramente trascendentale con grado di trascendenza n su K ; possiamo ad esempio prendere { x ₁ ,..., x _n } come base di trascendenza.
• Più in generale, il grado di trascendenza del campo di funzione L di una varietà algebrica n- dimensionale su un campo fondamentale K è n .
• Q ( √2 , e ) ha grado di trascendenza 1 su Q perché √2 è algebrico mentre e è trascendente .
• Il grado di trascendenza di C o R su Q è la cardinalità del continuo . (Ciò segue poiché ogni elemento ha solo numerabilmente molti elementi algebrici su di esso in Q , poiché Q è esso stesso numerabile.)
• Il grado di trascendenza Q ( e , π ) su Q è 1 o 2; la risposta precisa è sconosciuta perché non è noto se e e π siano algebricamente indipendenti.
• Se S è una compatta superficie di Riemann , il campo C ( S ) di funzioni meromorfe su S ha grado trascendenza 1 sopra C .

Analogia con le dimensioni dello spazio vettoriale

C'è un'analogia con la teoria delle dimensioni dello spazio vettoriale . L'analogia confronta gli insiemi algebricamente indipendenti con gli insiemi linearmente indipendenti ; insiemi S tali che L sia algebrico su K ( S ) con insiemi di copertura ; basi di trascendenza con basi ; e grado di trascendenza con dimensione. Il fatto che le basi di trascendenza esistano sempre (come il fatto che le basi esistano sempre nell'algebra lineare) richiede l' assioma della scelta . La dimostrazione che due basi qualsiasi hanno la stessa cardinalità dipende, in ogni contesto, da un lemma di scambio .

Questa analogia può essere resa più formale, osservando che l'indipendenza lineare negli spazi vettoriali e l'indipendenza algebrica nelle estensioni di campo formano entrambe esempi di matroidi , detti rispettivamente matroidi lineari e matroidi algebrici. Quindi, il grado di trascendenza è la funzione di rango di un matroide algebrico. Ogni matroide lineare è isomorfo a un matroide algebrico, ma non viceversa.

Fatti

Se M / L è un'estensione di campo e L / K è un'altra estensione di campo, allora il grado di trascendenza di M / K è uguale alla somma dei gradi di trascendenza di M / L e L / K . Ciò è dimostrato dimostrando che una base di trascendenza di M / K può essere ottenuta prendendo l' unione di una base di trascendenza di M / L e una di L / K .

Applicazioni

Le basi di trascendenza sono uno strumento utile per provare varie affermazioni di esistenza sugli omomorfismi di campo. Ecco un esempio: dato un campo algebricamente chiuso L , un sottocampo K e un automorfismo di campo f di K , esiste un automorfismo di campo di L che estende f (cioè la cui restrizione a K è f ). Per la dimostrazione si parte da una base di trascendenza S di L / K . Gli elementi di K ( S ) sono solo quozienti di polinomi in elementi di S con coefficienti in K ; quindi l'automorfismo f può essere esteso a uno di K ( S ) inviando a sé ogni elemento di S. Il campo L è la chiusura algebrica di K ( S ) e le chiusure algebriche sono uniche fino all'isomorfismo; ciò significa che l'automorfismo può essere ulteriormente esteso da K ( S ) a L .

Come altra applicazione, mostriamo che ci sono (molti) sottocampi propri del campo dei numeri complessi C che sono (come campi) isomorfi a C . Per la dimostrazione, prendi una base di trascendenza S di C / Q . S è un insieme infinito (anche non numerabile), quindi esistono (molte) mappe f : S → S che sono iniettive ma non suriettive . Una tale mappa può essere estesa a un omomorfismo di campo Q ( S ) → Q ( S ) che non è suriettivo. Tale omomorfismo di campo può a sua volta essere esteso alla chiusura algebrica C , e gli omomorfismi di campo risultanti C → C non sono suriettivi.

Il grado di trascendenza può dare una comprensione intuitiva delle dimensioni di un campo. Ad esempio, un teorema di Siegel afferma che se X è una varietà compatta, connessa e complessa di dimensione n e K ( X ) denota il campo delle funzioni meromorfe (definite globalmente) su di essa, allora trdeg _C ( K ( X )) ≤  n .

Riferimenti