Topologia generale - General topology

In matematica , la topologia generale è la branca della topologia che si occupa delle definizioni e delle costruzioni della teoria degli insiemi di base utilizzate in topologia. È il fondamento della maggior parte degli altri rami della topologia, inclusa la topologia differenziale , la topologia geometrica e la topologia algebrica . Un altro nome per la topologia generale è topologia point-set .

I concetti fondamentali della topologia puntuale sono continuità , compattezza e connessione :

• Le funzioni continue , intuitivamente, portano i punti vicini ai punti vicini.
• Gli insiemi compatti sono quelli che possono essere coperti da un numero finito di insiemi di dimensioni arbitrariamente piccole.
• Gli insiemi connessi sono insiemi che non possono essere divisi in due parti distanti tra loro.

I termini "vicino", "arbitrariamente piccolo" e "lontano" possono essere tutti precisati utilizzando il concetto di insiemi aperti . Se cambiamo la definizione di "insieme aperto", cambiamo cosa sono le funzioni continue, gli insiemi compatti e gli insiemi connessi. Ogni scelta di definizione per 'insieme aperto' è chiamata topologia . Un insieme con una topologia è detto spazio topologico .

Gli spazi metrici sono un'importante classe di spazi topologici in cui una distanza reale, non negativa, chiamata anche metrica , può essere definita su coppie di punti nell'insieme. Avere una metrica semplifica molte dimostrazioni e molti degli spazi topologici più comuni sono spazi metrici.

Storia

La topologia generale è nata da una serie di aree, in particolare le seguenti:

• lo studio dettagliato dei sottoinsiemi della retta reale (un tempo nota come topologia degli insiemi di punti ; questo uso è ormai obsoleto)
• l'introduzione del concetto molteplice
• lo studio degli spazi metrici , in particolare degli spazi lineari normati , agli albori dell'analisi funzionale .

La topologia generale assunse la sua forma attuale intorno al 1940. Cattura, si potrebbe dire, quasi tutto nell'intuizione di continuità , in una forma tecnicamente adeguata che può essere applicata in qualsiasi area della matematica.

Una topologia su un insieme

Sia X un insieme e sia τ una famiglia di sottoinsiemi di X . Poi τ è chiamato topologia su X se:

1. Sia l' insieme vuoto e X sono elementi di τ
2. Ogni unione di elementi di τ è un elemento di τ
3. Qualsiasi intersezione di un numero finito di elementi di τ è un elemento di τ

Se τ è una topologia su X , allora la coppia ( X , τ ) è chiamato spazio topologico . La notazione X _τ può essere usata per denotare un insieme X dotato della particolare topologia τ .

I membri di τ sono chiamati insiemi aperti in X . Un sottoinsieme di X si dice essere chiusa se complemento è τ (ovvero il suo complemento è aperto). Un sottoinsieme di X può essere aperto, chiuso, entrambi ( insieme clopen ) o nessuno dei due. L'insieme vuoto e X stesso sono sempre sia chiusi che aperti.

Base per una topologia

Una base (o base ) B per uno spazio topologico X con topologia T è un insieme di aperti in T tale che ogni aperto in T può essere scritto come unione di elementi di B . Diciamo che la base genera la topologia T . Le basi sono utili perché molte proprietà delle topologie possono essere ridotte a dichiarazioni su una base che genera tale topologia e perché molte topologie sono più facilmente definite in termini di una base che le genera.

Sottospazio e quoziente

Ad ogni sottoinsieme di uno spazio topologico può essere assegnata la topologia del sottospazio in cui gli aperti sono le intersezioni degli aperti dello spazio più grande con il sottoinsieme. Per qualsiasi famiglia indicizzata di spazi topologici, al prodotto può essere assegnata la topologia del prodotto , che è generata dalle immagini inverse degli insiemi aperti dei fattori sotto le mappature di proiezione . Ad esempio, nei prodotti finiti, una base per la topologia del prodotto è costituita da tutti i prodotti di insiemi aperti. Per prodotti infiniti, c'è il requisito aggiuntivo che in un insieme aperto di base, quasi tutte le sue proiezioni, tranne un numero finito, siano l'intero spazio.

Uno spazio quoziente è definito come segue: se X è uno spazio topologico e Y è un insieme, e se f  : X → Y è una funzione suriettiva , allora la topologia quoziente su Y è l'insieme dei sottoinsiemi di Y che hanno immagini inverse aperte sotto f . In altre parole, la topologia quoziente è la topologia più fine su Y per cui f è continua. Un esempio comune di topologia quoziente è quando viene definita una relazione di equivalenza sullo spazio topologico X . La mappa f è quindi la proiezione naturale sull'insieme delle classi di equivalenza .

Esempi di spazi topologici

Un dato insieme può avere molte topologie differenti. Se a un insieme viene assegnata una topologia diversa, viene visto come uno spazio topologico diverso.

Topologie discrete e banali

Ad ogni insieme può essere assegnata la topologia discreta , in cui ogni sottoinsieme è aperto. Le uniche sequenze o reti convergenti in questa topologia sono quelle che alla fine sono costanti. Inoltre, a qualsiasi insieme può essere assegnata la topologia banale (chiamata anche topologia indiscreta), in cui solo l'insieme vuoto e l'intero spazio sono aperti. Ogni sequenza e rete in questa topologia converge in ogni punto dello spazio. Questo esempio mostra che negli spazi topologici generali, i limiti delle sequenze non devono essere univoci. Tuttavia, spesso gli spazi topologici devono essere spazi di Hausdorff in cui i punti limite sono unici.

Topologie cofinite e numerabili

Ad ogni insieme può essere assegnata la topologia cofinita in cui gli insiemi aperti sono l'insieme vuoto e gli insiemi il cui complemento è finito. Questa è la topologia T ₁ più piccola su qualsiasi insieme infinito.

A qualsiasi insieme può essere assegnata la topologia cocountable , in cui un insieme è definito come aperto se è vuoto o se il suo complemento è numerabile. Quando l'insieme non è numerabile, questa topologia funge da controesempio in molte situazioni.

Topologie sui numeri reali e complessi

Ci sono molti modi per definire una topologia su R , l'insieme dei numeri reali . La topologia standard su R è generata dagli intervalli aperti . L'insieme di tutti gli intervalli aperti costituisce una base o una base per la topologia, il che significa che ogni insieme aperto è un'unione di una raccolta di insiemi dalla base. In particolare, ciò significa che un insieme è aperto se esiste un intervallo aperto di raggio diverso da zero attorno a ogni punto dell'insieme. Più in generale, agli spazi euclidei R ⁿ può essere assegnata una topologia. Nella solita topologia su R ⁿ gli aperti di base sono le palle aperte . Allo stesso modo, C , l'insieme dei numeri complessi , e C ⁿ hanno una topologia standard in cui gli insiemi aperti di base sono palline aperte.

Alla linea reale può essere assegnata anche la topologia del limite inferiore . Qui, gli insiemi aperti di base sono gli intervalli semiaperti [ a , b ). Questa topologia su R è strettamente più fine della topologia euclidea definita sopra; una successione converge in un punto in questa topologia se e solo se converge dall'alto nella topologia euclidea. Questo esempio mostra che un insieme può avere molte topologie distinte definite su di esso.

La topologia metrica

Ad ogni spazio metrico può essere assegnata una topologia metrica, in cui gli insiemi aperti di base sono sfere aperte definite dalla metrica. Questa è la topologia standard su qualsiasi spazio vettoriale normato . Su uno spazio vettoriale a dimensione finita questa topologia è la stessa per tutte le norme.

Ulteriori esempi

• Esistono numerose topologie su un dato insieme finito . Tali spazi sono chiamati spazi topologici finiti . Gli spazi finiti sono talvolta usati per fornire esempi o controesempi alle congetture sugli spazi topologici in generale.
• Ogni varietà ha una topologia naturale , essendo localmente euclidea. Allo stesso modo, ogni simplesso e ogni complesso simpliciale eredita una topologia naturale da R ⁿ .
• La topologia di Zariski è definita algebricamente sullo spettro di un anello o di una varietà algebrica . Su R ⁿ o C ⁿ , gli insiemi chiusi della topologia di Zariski sono gli insiemi di soluzioni di sistemi di equazioni polinomiali .
• Un grafo lineare ha una topologia naturale che generalizza molti degli aspetti geometrici dei grafi con vertici e spigoli .
• Molti set di operatori lineari in analisi funzionale sono dotati di topologie definite specificando quando una particolare sequenza di funzioni converge alla funzione zero.
• Ogni campo locale ha una topologia nativa e questa può essere estesa agli spazi vettoriali su quel campo.
• Lo spazio di Sierpiński è lo spazio topologico non discreto più semplice. Ha importanti relazioni con la teoria della computazione e della semantica.
• Se Γ è un numero ordinale , allora l'insieme Γ = [0, ) può essere dotato della topologia d'ordine generata dagli intervalli ( a ,  b ), [0,  b ) e ( a , Γ) dove a e b sono elementi di .

Funzioni continue

Continuità è espressa in termini di quartieri : f è continua in un certo punto x  ∈  X se e solo se per ogni intorno V di f ( x ) , esiste un intorno U di x tale che f ( U ) ⊆  V . Intuitivamente, continuità significa che non importa quanto "piccolo" V diventi, c'è sempre una U contenente x che mappa all'interno di V e la cui immagine sotto f contiene f ( x ) . Ciò equivale alla condizione che le preimmagini degli insiemi aperti (chiusi) in Y siano aperte (chiuse) in X . Negli spazi metrici, questa definizione è equivalente alla definizione ε–δ che viene spesso utilizzata in analisi.

Un esempio estremo: se a un insieme X viene assegnata la topologia discreta , tutte le funzioni

${\displaystyle f\due punti X\rightarrow T}$

a qualsiasi spazio topologico T sono continue. Se invece X è dotato della topologia indiscreta e lo spazio T insieme è almeno T ₀ , allora le uniche funzioni continue sono le funzioni costanti. Al contrario, qualsiasi funzione il cui intervallo è indiscreto è continua.

Definizioni alternative

Esistono diverse definizioni equivalenti per una struttura topologica e quindi ci sono diversi modi equivalenti per definire una funzione continua.

Definizione di quartiere

Le definizioni basate su preimmagini sono spesso difficili da usare direttamente. Il criterio seguente esprime la continuità in termini di intorno : f è continua in un punto x  ∈  X se e solo se per ogni intorno V di f ( x ), esiste un intorno U di x tale che f ( U ) ⊆  V . Intuitivamente, continuità significa che non importa quanto "piccolo" V diventi, c'è sempre una U contenente x che mappa all'interno di V .

Se X e Y sono spazi metrici, è equivalente considerare il sistema di vicinato di palline aperte centrate in x e f ( x ) invece di tutti i dintorni. Ciò restituisce la precedente definizione δ-ε di continuità nel contesto degli spazi metrici. Tuttavia, negli spazi topologici generali, non esiste la nozione di vicinanza o distanza.

Si noti, tuttavia, che se lo spazio obiettivo è Hausdorff , è ancora vero che f è continua in a se e solo se il limite di f quando x si avvicina ad a è f ( a ). In un punto isolato, ogni funzione è continua.

Sequenze e reti

In diversi contesti, la topologia di uno spazio è convenientemente specificata in termini di punti limite . In molti casi, questo viene realizzato specificando quando un punto è il limite di una sequenza , ma per alcuni spazi che sono troppo grandi in un certo senso, una specifica anche quando un punto è il limite di insiemi più generali di punti indicizzati da un diretto set , noto come reti . Una funzione è continua solo se porta i limiti delle successioni ai limiti delle successioni. Nel primo caso è sufficiente anche il mantenimento dei limiti; in quest'ultimo, una funzione può preservare tutti i limiti delle sequenze ma ancora non essere continua, e la conservazione delle reti è una condizione necessaria e sufficiente.

In dettaglio, una funzione f : X → Y è sequenzialmente continua se ogni volta che una successione ( x _n ) in X converge ad un limite x , la successione ( f ( x _n )) converge a f ( x ). Quindi le funzioni sequenzialmente continue "preservano i limiti sequenziali". Ogni funzione continua è sequenzialmente continua. Se X è uno spazio primo numerabile e vale la scelta numerabile , allora vale anche il contrario: qualsiasi funzione che conservi limiti sequenziali è continua. In particolare, se X è uno spazio metrico, continuità sequenziale e continuità sono equivalenti. Per gli spazi non prima numerabili, la continuità sequenziale potrebbe essere strettamente più debole della continuità. (Gli spazi per cui le due proprietà sono equivalenti sono chiamati spazi sequenziali .) Questo motiva la considerazione delle reti invece delle sequenze negli spazi topologici generali. Le funzioni continue conservano i limiti delle reti, e infatti questa proprietà caratterizza le funzioni continue.

Definizione dell'operatore di chiusura

Invece di specificare i sottoinsiemi aperti di uno spazio topologico, la topologia può essere determinata anche da un operatore di chiusura (denotato cl), che assegna a qualsiasi sottoinsieme A ⊆ X la sua chiusura , o un operatore interno (denotato int), che assegna a qualsiasi sottoinsieme A di X il suo interno . In questi termini, una funzione

${\displaystyle f\due punti (X,\mathrm {cl} )\to (X',\mathrm {cl} ')\,}$

tra spazi topologici è continua nel senso sopra se e solo se per tutti i sottoinsiemi A di X

${\displaystyle f(\mathrm {cl} (A))\subseteq \mathrm {cl} '(f(A)).}$

Vale a dire, dato un qualsiasi elemento x di X che è nella chiusura di qualsiasi sottoinsieme A , f ( x ) appartiene alla chiusura di f ( A ). Ciò equivale al requisito che per tutti i sottoinsiemi A ' di X '

${\displaystyle f^{-1}(\mathrm {cl} '(A'))\supseteq \mathrm {cl} (f^{-1}(A')).}$

Inoltre,

${\displaystyle f\due punti (X,\mathrm {int} )\to (X',\mathrm {int} ')\,}$

è continua se e solo se

${\displaystyle f^{-1}(\mathrm {int} '(A))\subseteq \mathrm {int} (f^{-1}(A))}$

per ogni sottoinsieme A di X .

Proprietà

Se f : X → Y e g : Y → Z sono continue, allora lo è la composizione g ∘ f : X → Z . Se f : X → Y è continuo e

• X è compatto , allora f ( X ) è compatto.
• X è connesso , quindi f ( X ) è connesso.
• X è connesso al percorso , quindi f ( X ) è connesso al percorso.
• X è Lindelöf , allora f ( X ) è Lindelöf.
• X è separabile , allora f ( X ) è separabile.

Le possibili topologie su un insieme fisso X sono parzialmente ordinate : una topologia τ ₁ si dice più grossolana di un'altra topologia τ ₂ (notazione: τ ₁ ⊆ τ ₂ ) se ogni aperto rispetto a τ ₁ è aperto anche rispetto a τ ₂ . Quindi, la mappa dell'identità

id _X : ( X , ₂ ) → ( X , τ ₁ )

è continua se e solo se τ ₁ ⊆ τ ₂ (vedi anche confronto di topologie ). Più in generale, una funzione continua

${\displaystyle (X,\tau _{X})\rightarrow (Y,\tau _{Y})}$

rimane continua se la topologia τ _Y viene sostituita da una topologia più grossolana e/o τ _X viene sostituita da una topologia più fine .

Omeomorfismi

Simmetrica al concetto di mappa continua è una mappa aperta , per la quale sono aperte le immagini di insiemi aperti. Infatti, se una mappa aperta f ha una funzione inversa , quell'inversa è continua, e se una mappa continua g ha un'inversa, quell'inversa è aperta. Data una funzione biunivoca f tra due spazi topologici, non è necessario che la funzione inversa f ⁻¹ sia continua. Una funzione biunivoca continua con funzione continua inversa è detta omeomorfismo .

Se una biiezione continua ha come dominio uno spazio compatto e il suo codominio è Hausdorff , allora è un omeomorfismo.

Definizione di topologie tramite funzioni continue

Data una funzione

${\displaystyle f\due punti X\rightarrow S,\,}$

dove X è uno spazio topologico e S è un insieme (senza una topologia specificata), la topologia finale su S è definita lasciando che gli insiemi aperti di S siano quei sottoinsiemi A di S per i quali f ⁻¹ ( A ) è aperto in X . Se S ha una topologia esistente, f è continua rispetto a questa topologia se e solo se la topologia esistente è più grossolana della topologia finale su S . Quindi la topologia finale può essere caratterizzata come la topologia più fine su S che rende f continua. Se f è suriettiva , questa topologia è canonicamente identificata con la topologia quoziente sotto la relazione di equivalenza definita da f .

Dualmente, per una funzione f da un insieme S a uno spazio topologico, la topologia iniziale su S ha come aperti A di S quei sottoinsiemi per cui f ( A ) è aperto in X . Se S ha una topologia esistente, f è continua rispetto a questa topologia se e solo se la topologia esistente è più fine della topologia iniziale su S . Quindi la topologia iniziale può essere caratterizzata come la topologia più grossolana su S che rende f continua. Se f è iniettivo, questa topologia è canonicamente identificata con la topologia del sottospazio di S , vista come un sottoinsieme di X .

Una topologia su un insieme S è determinata in modo univoco dalla classe di tutte le funzioni continue in tutti gli spazi topologici X . Dualmente , un'idea simile può essere applicata alle mappe${\displaystyle S\rightarrow X}$${\displaystyle X\rightarrow S.}$

Set compatti

Formalmente, uno spazio topologico X si dice compatto se ciascuna delle sue coperture aperte ha una sottocopertura finita . Altrimenti si dice non compatto . Esplicitamente, questo significa che per ogni raccolta arbitraria

${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$

di aperti di X tali che

${\displaystyle X=\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha },}$

esiste un sottoinsieme finito J di A tale che

${\displaystyle X=\bigcup _{i\in J}U_{i}.}$

Alcuni rami della matematica come la geometria algebrica , tipicamente influenzati dalla scuola francese di Bourbaki , usano il termine quasi-compatto per la nozione generale e riservano il termine compatto per spazi topologici che sono sia Hausdorff che quasi-compatti . Un insieme compatto è talvolta indicato come compactum , plurale compacta .

Ogni intervallo chiuso in R di lunghezza finita è compatto . Di più è vero: in R ⁿ , un insieme è compatto se e solo se è chiuso e limitato. (Vedi teorema di Heine-Borel ).

Ogni immagine continua di uno spazio compatto è compatta.

Un sottoinsieme compatto di uno spazio di Hausdorff è chiuso.

Ogni biiezione continua da uno spazio compatto a uno spazio di Hausdorff è necessariamente un omeomorfismo .

Ogni sequenza di punti in uno spazio metrico compatto ha una sottosequenza convergente.

Ogni dimensione finita compatto collettore può essere incorporato in un certo spazio euclideo R ⁿ .

Insiemi connessi

Uno spazio topologico X si dice disconnesso se è l' unione di due aperti non vuoti disgiunti . Altrimenti, X si dice connesso . Un sottoinsieme di uno spazio topologico si dice connesso se è connesso sotto la sua topologia di sottospazio . Alcuni autori escludono l' insieme vuoto (con la sua topologia univoca) come spazio connesso, ma questo articolo non segue tale pratica.

Per uno spazio topologico X le seguenti condizioni sono equivalenti:

1. X è connesso.
2. X non può essere diviso in due insiemi chiusi non vuoti disgiunti .
3. Gli unici sottoinsiemi di X che sono sia aperti che chiusi ( insiemi clopen ) sono X e l'insieme vuoto.
4. Gli unici sottoinsiemi di X con bordo vuoto sono X e l'insieme vuoto.
5. X non può essere scritto come l'unione di due insiemi separati non vuoti .
6. Le uniche funzioni continue da X a {0,1}, lo spazio a due punti dotato della topologia discreta, sono costanti.

Ogni intervallo in R è connesso .

L'immagine continua di una collegata spazio è collegato.

Componenti collegati

I massimi sottoinsiemi collegato (in ordine di inserimento ) di uno spazio topologico non vuota sono chiamati i componenti collegati dello spazio. I componenti di qualsiasi spazio topologico X formano una partizione di  X : sono disgiunti , non vuoti, e la loro unione è l'intero spazio. Ogni componente è un sottoinsieme chiuso dello spazio originale. Ne consegue che, nel caso in cui il loro numero sia finito, ogni componente è anche un aperto. Tuttavia, se il loro numero è infinito, potrebbe non essere così; per esempio, le componenti connesse dell'insieme dei numeri razionali sono gli insiemi a un punto, che non sono aperti.

Sia la componente connessa di x in uno spazio topologico X , e sia l'intersezione di tutti gli insiemi aperti-chiusi contenenti x (chiamato quasi-componente di x .) Allora dove l'uguaglianza vale se X è compatto di Hausdorff o connesso localmente. ${\displaystyle \Gamma _{x}}$${\displaystyle \Gamma _{x}'}$${\displaystyle \Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}}$

Spazi sconnessi

Uno spazio in cui tutti i componenti sono insiemi di un punto si dice totalmente disconnesso . In relazione a questa proprietà, uno spazio X si dice totalmente separato se, per due elementi distinti x e y di X , esistono dintorni aperti disgiunti U di x e V di y tali che X è l'unione di U e V . Chiaramente ogni spazio totalmente separato è totalmente disconnesso, ma il contrario non regge. Ad esempio, prendi due copie dei numeri razionali Q , e identificale in ogni punto tranne lo zero. Lo spazio risultante, con la topologia quoziente, è totalmente disconnesso. Tuttavia, considerando le due copie di zero, si vede che lo spazio non è totalmente separato. In realtà, non è nemmeno Hausdorff , e la condizione di essere totalmente separato è strettamente più forte della condizione di essere Hausdorff.

Insiemi collegati al percorso

Un cammino da un punto x a un punto y in uno spazio topologico X è una funzione continua f dall'intervallo unitario [0,1] a X con f (0) = x e f (1) = y . Un componente di percorso di X è una classe di equivalenza di X sotto la relazione di equivalenza , che rende x equivalente a y se esiste un percorso da x a y . Lo spazio X si dice che sia connesso per (o PathWise collegato o 0-collegato ) se v'è al massimo un percorso-componente, cioè se v'è un percorso che unisce due punti qualsiasi X . Anche in questo caso, molti autori escludono lo spazio vuoto.

Ogni spazio connesso al percorso è connesso. Il contrario non è sempre vero: esempi di spazi connessi che non sono collegati dal percorso includono la linea lunga estesa L * e la curva seno del topologo .

Tuttavia, sottoinsiemi della linea reale R sono connessi se e solo se sono connessi per via; questi sottoinsiemi sono gli intervalli di R . Inoltre, i sottoinsiemi aperti di R ⁿ o C ⁿ sono connessi se e solo se sono connessi da un percorso. Inoltre, la connessione e la connessione del percorso sono le stesse per gli spazi topologici finiti .

Prodotti di spazi

Dato X tale che

${\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i},}$

è il prodotto cartesiano degli spazi topologici X _i , indicizzato da , e delle proiezioni canoniche p _i  : X → X _i , la topologia prodotto su X è definita come la topologia più grossolana (cioè la topologia con il minor numero di aperti) per cui tutti le proiezioni p _i sono continue . La topologia del prodotto è talvolta chiamata topologia Tychonoff . ${\displaystyle io\in io}$

Gli insiemi aperti nella topologia del prodotto sono unioni (finite o infinite) di insiemi della forma , dove ogni U _i è aperto in X _i e U _i  ≠  X _i solo un numero finito di volte. In particolare, per un prodotto finito (in particolare, per il prodotto di due spazi topologici), i prodotti degli elementi di base della X _i danno una base per il prodotto . ${\displaystyle \prod _{i\in I}U_{i}}$${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$

La topologia del prodotto su X è la topologia generata da insiemi della forma p _i ⁻¹ ( U ), dove i è in I e U è un sottoinsieme aperto di X _i . In altre parole, gli insiemi { p _i ⁻¹ ( U )} formano una sottobase per la topologia su X . Un sottoinsieme di X è aperto se e solo se è un'unione (possibilmente infinita) di intersezioni di un numero finito di insiemi della forma p _i ⁻¹ ( U ). I p _i ⁻¹ ( U ) sono talvolta chiamati cilindri aperti e le loro intersezioni sono insiemi di cilindri .

In generale, il prodotto delle topologie di ogni X _i costituisce una base per quella che viene chiamata la topologia a scatola su X . In generale, la topologia della scatola è più fine della topologia del prodotto, ma per i prodotti finiti coincidono.

Relativo alla compattezza è il teorema di Tychonoff : il prodotto (arbitrario) di spazi compatti è compatto.

Assiomi di separazione

Molti di questi nomi hanno significati alternativi in ​​parte della letteratura matematica, come spiegato in Storia degli assiomi di separazione ; per esempio, i significati di "normale" e "T ₄ " sono talvolta scambiati, allo stesso modo "regolare" e "T ₃ ", ecc. Molti dei concetti hanno anche diversi nomi; tuttavia, quello elencato per primo ha sempre meno probabilità di essere ambiguo.

La maggior parte di questi assiomi ha definizioni alternative con lo stesso significato; le definizioni qui fornite rientrano in uno schema coerente che mette in relazione le varie nozioni di separazione definite nella sezione precedente. Altre possibili definizioni si trovano nei singoli articoli.

In tutte le seguenti definizioni, X è di nuovo uno spazio topologico .

• X è T ₀ , o Kolmogorov , se due punti distinti in X sono topologicamente distinguibili . (È un tema comune tra gli assiomi della separazione avere una versione di un assioma che richiede T ₀ e una versione che non lo fa.)
• X è T ₁ , o accessibile o Fréchet , se due punti distinti in X sono separati. Quindi, X è T ₁ se e solo se è sia T ₀ che R ₀ . (Anche se si può dire cose come T ₁ spazio , topologia Fréchet , e Supponiamo che lo spazio topologico X è Fréchet , evitare di dire spazio Fréchet in questo contesto, dal momento che v'è un altro completamente diverso concetto di spazio Fréchet in analisi funzionale .)
• X è Hausdorff , o T ₂ o separato , se due punti distinti in X sono separati da quartieri. Quindi, X è Hausdorff se e solo se è sia T ₀ che R ₁ . Anche uno spazio di Hausdorff deve essere T ₁ .
• X è T _2½ , o Urysohn , se due punti distinti in X sono separati da quartieri chiusi. AT _2½ spazio deve essere anche Hausdorff.
• X è regolare , o T ₃ , se è T ₀ e se dato un punto x e un insieme chiuso F in X tali che x non appartiene a F , sono separati da dintorni. (In effetti, in uno spazio regolare, anche ogni x e F è separato da quartieri chiusi.)
• X è Tychonoff , o T _3½ , completamente T ₃ , o completamente regolare , se è T ₀ e se f, dato un punto x e un insieme chiuso F in X tale che x non appartiene a F , sono separati da un continuo funzione.
• X è normale , o T ₄ , se è Hausdorff e se due sottoinsiemi chiusi disgiunti di X sono separati da intorno. (In effetti, uno spazio è normale se e solo se due insiemi chiusi disgiunti possono essere separati da una funzione continua; questo è il lemma di Urysohn .)
• X è completamente normale , o T ₅ o completamente T ₄ , se è T ₁ e se due insiemi separati sono separati da dintorni. Anche uno spazio completamente normale deve essere normale.
• X è perfettamente normale , o T ₆ o perfettamente T ₄ , se è T ₁ e se due insiemi chiusi disgiunti sono separati con precisione da una funzione continua. Uno spazio di Hausdorff perfettamente normale deve essere anche Hausdorff del tutto normale.

Il teorema di estensione di Tietze : In uno spazio normale, ogni funzione continua a valori reali definita su un sottospazio chiuso può essere estesa a una mappa continua definita sull'intero spazio.

Assiomi di numerabilità

Un assioma di numerabilità è una proprietà di alcuni oggetti matematici (di solito in una categoria ) che richiede l'esistenza di un insieme numerabile con determinate proprietà, mentre senza di esso tali insiemi potrebbero non esistere.

Importanti assiomi di numerabilità per gli spazi topologici :

• spazio sequenziale : un insieme è aperto se ogni sequenza convergente ad un punto nel set è casualmente nel set
• primo spazio numerabile : ogni punto ha una base di quartiere numerabile (base locale)
• secondo spazio numerabile : la topologia ha una base numerabile
• spazio separabile : esiste un sottospazio denso numerabile
• Spazio di Lindelöf : ogni copertina aperta ha una sottocopertina numerabile
• -spazio compatto : esiste una copertura numerabile per spazi compatti

Relazioni:

• Ogni primo spazio numerabile è sequenziale.
• Ogni secondo spazio numerabile è primo numerabile, separabile e Lindelöf.
• Ogni spazio σ-compatto è Lindelöf.
• Uno spazio metrico è il primo numerabile.
• Per gli spazi metrici la seconda numerabilità, la separabilità e la proprietà di Lindelöf sono tutte equivalenti.

Spazi metrici

Uno spazio metrico è una coppia ordinata dove è un insieme ed è una metrica su , cioè una funzione${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle d\due punti M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

tale che per ogni , vale quanto segue: ${\displaystyle x,y,z\in M}$

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$     ( non negativo ),
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\,}$ iff     ( identità di indiscernibili ),${\displaystyle x=y\,}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\,}$     ( simmetria ) e
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$     ( disuguaglianza triangolare ).

La funzione è anche chiamata funzione distanza o semplicemente distanza . Spesso, viene omesso e si scrive solo per uno spazio metrico se è chiaro dal contesto quale metrica viene utilizzata. ${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle M}$

Ogni spazio metrico è paracompatto e Hausdorff , quindi normale .

I teoremi di metrizzazione forniscono le condizioni necessarie e sufficienti affinché una topologia derivi da una metrica.

Teorema della categoria di Baire

Il teorema della categoria di Baire dice: se X è uno spazio metrico completo o uno spazio di Hausdorff localmente compatto , allora l'interno di ogni unione di insiemi numerabili non densi è vuoto.

Qualsiasi sottospazio aperto di uno spazio di Baire è esso stesso uno spazio di Baire.

Principali aree di ricerca

teoria del continuo

Un continuum (pl continua ) è uno spazio metrico connesso compatto non vuoto , o meno frequentemente, uno spazio di Hausdorff connesso compatto . La teoria dei continui è la branca della topologia dedicata allo studio dei continui. Questi oggetti sorgono frequentemente in quasi tutte le aree della topologia e dell'analisi e le loro proprietà sono abbastanza forti da produrre molte caratteristiche "geometriche".

Sistemi dinamici

La dinamica topologica riguarda il comportamento di uno spazio e dei suoi sottospazi nel tempo quando sottoposto a continui cambiamenti. Molti esempi con applicazioni alla fisica e ad altre aree della matematica includono fluidodinamica , biliardo e flussi su collettori. Le caratteristiche topologiche dei frattali nella geometria frattale, degli insiemi di Julia e dell'insieme di Mandelbrot che sorgono in dinamiche complesse e degli attrattori nelle equazioni differenziali sono spesso fondamentali per la comprensione di questi sistemi.

Topologia inutile

La topologia senza punto (chiamata anche topologia point-free o pointfree ) è un approccio alla topologia che evita di menzionare i punti. Il nome 'topologia inutile' è dovuto a John von Neumann . Le idee di topologia senza scopo sono strettamente correlate alle mereotopologie , in cui le regioni (insiemi) sono trattate come fondamentali senza un riferimento esplicito agli insiemi di punti sottostanti.

Teoria delle dimensioni

La teoria delle dimensioni è una branca della topologia generale che si occupa degli invarianti dimensionali degli spazi topologici .

algebre topologiche

Un algebra topologica A su un campo topologico K è uno spazio vettoriale topologico insieme con una moltiplicazione continua

${\displaystyle \cdot :A\times A\longrightarrow A}$

${\displaystyle (a,b)\longmapsto a\cdot b}$

che lo rende un'algebra su K . Un'algebra topologica associativa unitaria è un anello topologico .

Il termine è stato coniato da David van Dantzig ; appare nel titolo della sua tesi di dottorato (1931).

Teoria della metrizzabilità

In topologia e aree correlate di matematica , uno spazio metrizzabile è uno spazio topologico che è omeomorfo ad uno spazio metrico . Cioè, uno spazio topologico si dice metrizzabile se esiste una metrica ${\displaystyle (X,\tau)}$

${\displaystyle d\colon X\times X\to [0,\infty )}$

tale che la topologia indotta da d sia . I teoremi di metrizzazione sono teoremi che forniscono condizioni sufficienti affinché uno spazio topologico sia metrizzabile. ${\displaystyle \tau}$

Topologia insiemistica

La topologia insiemistica è una materia che combina teoria degli insiemi e topologia generale. Si concentra su questioni topologiche indipendenti dalla teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZFC). Un problema famoso è la normale domanda spaziale di Moore , una domanda di topologia generale che è stata oggetto di intense ricerche. La risposta alla normale domanda sullo spazio di Moore si è infine dimostrata indipendente da ZFC.

Guarda anche

• Elenco di esempi in topologia generale
• Glossario della topologia generale per definizioni dettagliate
• Elenco di argomenti di topologia generale per articoli correlati
• Categoria di spazi topologici

Riferimenti

Ulteriori letture

Alcuni libri standard sulla topologia generale includono:

• Bourbaki , Topologie Générale ( Topologia generale ), ISBN  0-387-19374-X .
• John L. Kelley (1955) General Topology , collegamento da Internet Archive , originariamente pubblicato da David Van Nostrand Company.
• Stephen Willard , Topologia generale , ISBN  0-486-43479-6 .
• James Munkres , Topologia , ISBN  0-13-181629-2 .
• George F. Simmons , Introduzione alla topologia e all'analisi moderna , ISBN  1-575-24238-9 .
• Paul L. Shick , Topologia: Point-Set e geometrica , ISBN  0-470-09605-5 .
• Ryszard Engelking , Topologia generale , ISBN  3-88538-006-4 .
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( ristampa di Dover del 1978 ed.), Berlino, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR  0507446
• O.Ya. Viro, OA Ivanov, VM Kharlamov e N.Yu. Netsvetaev, Topologia elementare: libro di testo in problemi , ISBN  978-0-8218-4506-6 .
• Forme topologiche e loro significato di KARousan arvXiv id- 1905.13481

Il codice soggetto di arXiv è math.GN .

link esterno

• Mezzi relativi alla topologia generale su Wikimedia Commons