Chiusura (topologia) - Closure (topology)

In matematica , la chiusura di un sottoinsieme S dei punti in uno spazio topologico costituito da tutti i punti di S insieme con tutti i punti limite di S . La chiusura di S può equivalentemente essere definita come unione di S e del suo contorno , e anche come intersezione di tutti insiemi chiusi contenenti S . Intuitivamente, la chiusura può essere pensata come tutti i punti che sono in S o "vicini" a S . Un punto che si trova nella chiusura di S è un punto di chiusura di S . La nozione di chiusura è per molti versi duale alla nozione di interno .

Definizioni

Punto di chiusura

Per un sottoinsieme di uno spazio euclideo , è un punto di chiusura di se ogni sfera aperta centrata in contiene un punto di (questo punto può essere se stesso). ${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$

Questa definizione si generalizza a qualsiasi sottoinsieme di uno spazio metrico Pienamente espresso, per uno spazio metrico con metrica è un punto di chiusura di se per ogni ne esiste uno tale che la distanza (di nuovo, è consentita). Un altro modo per esprimere questo è dire che è un punto di chiusura di se la distanza${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle d(x,s)<r}$${\displaystyle x=s}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle d(x,S):=\inf _{s\in S}d(x,s)=0.}$

Questa definizione si generalizza agli spazi topologici sostituendo "palla aperta" o "palla" con " vicinato ". Sia un sottoinsieme di uno spazio topologico Allora è un punto di chiusura o un punto aderente di se ogni intorno di contiene un punto di Nota che questa definizione non dipende dal fatto che i dintorni debbano essere aperti. ${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S.}$

Punto limite

La definizione di un punto di chiusura è strettamente correlata alla definizione di un punto limite . La differenza tra le due definizioni è sottile ma importante – cioè, nella definizione di punto limite, ogni intorno del punto in questione deve contenere un punto dell'insieme diverso da se stesso . L'insieme di tutti i punti limite di un insieme è detto insieme derivato di${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

Quindi, ogni punto limite è un punto di chiusura, ma non tutti i punti di chiusura sono un punto limite. Un punto di chiusura che non è un punto limite è un punto isolato . In altre parole, un punto è un punto isolato di se è un elemento di e se esiste un intorno di cui non contiene altri punti diversi da se stesso. ${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$

Per un dato insieme e punto è un punto di chiusura di se e solo se è un elemento di o è un punto limite di (o entrambi). ${\displaystyle S}$${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$

Chiusura di un set

La chiusura di un sottoinsieme di uno spazio topologico denotato da o eventualmente da (se è inteso), dove se entrambi e sono chiari dal contesto allora può anche essere denotato da o (inoltre, a volte è capitalizzato a ) può essere definita utilizzando uno dei le seguenti definizioni equivalenti: ${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau),}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,\tau)}S}$${\displaystyle \nomeoperatore {cl} _{X}S}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \nomeoperatore {cl} S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}},}$${\displaystyle S{}^{-}}$${\displaystyle \nomeoperatore {cl} }$${\displaystyle \nomeoperatore {Cl} }$

1. ${\displaystyle \nomeoperatore {cl} S}$è l'insieme di tutti i punti di chiusura di${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \nomeoperatore {cl} S}$è l' insieme con tutti i suoi punti limite .${\displaystyle S}$
3. ${\displaystyle \nomeoperatore {cl} S}$è l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi contenenti${\displaystyle S.}$
4. ${\displaystyle \nomeoperatore {cl} S}$ è il più piccolo insieme chiuso contenente ${\displaystyle S.}$
5. ${\displaystyle \nomeoperatore {cl} S}$è l'unione di e il suo confine${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \partial (S).}$
6. ${\displaystyle \nomeoperatore {cl} S}$è l'insieme di tutto ciò per cui esiste una rete (valutata) in che converge a in${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,\tau).}$

La chiusura di un insieme ha le seguenti proprietà.

• ${\displaystyle \nomeoperatore {cl} S}$è un superinsieme chiuso di${\displaystyle S}$
• L'insieme è chiuso se e solo se${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\nomeoperatore {cl} S}$
• Se allora è un sottoinsieme di${\displaystyle S\subseteq T}$${\displaystyle \nomeoperatore {cl} S}$${\displaystyle \nomeoperatore {cl} T.}$
• Se è un insieme chiuso, allora contiene se e solo se contiene${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \nomeoperatore {cl} S.}$

A volte la seconda o la terza proprietà di cui sopra viene presa come definizione della chiusura topologica, che ha ancora senso se applicata ad altri tipi di chiusure (vedi sotto).

In un primo numerabile spazio (come uno spazio metrico ), è l'insieme di tutti i limiti di tutti convergenti sequenze di punti in uno spazio topologico generale, questa affermazione rimane vero se si sostituisce "sequenza" di " net o"" filtro ". ${\displaystyle \nomeoperatore {cl} S}$${\displaystyle S.}$

Notare che queste proprietà sono soddisfatte anche se "chiusura", "sovrainsieme", "intersezione", "contiene/contiene", "il più piccolo" e "chiuso" sono sostituiti da "interno", "sottoinsieme", "unione", "contenuto". in", "più grande" e "aperto". Per ulteriori informazioni su questo argomento, vedere l' operatore di chiusura di seguito.

Esempi

Considera una sfera in 3 dimensioni. Implicitamente ci sono due regioni di interesse create da questa sfera; la sfera stessa e il suo interno (che si chiama 3-sfera aperta). È utile essere in grado di distinguere tra l'interno di 3-ball e la superficie, quindi distinguiamo tra 3-ball aperto e 3-ball chiuso - la chiusura del 3-ball. La chiusura del 3-ball aperto è il 3-ball aperto più la superficie.

Nello spazio topologico :

• In ogni spazio, ${\displaystyle \varnothing =\nomeoperatore {cl} \varnothing.}$
• In qualsiasi spazio ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X=\nomeoperatore {cl} X.}$

Dare e la topologia standard (metrica) : ${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {C}}$

• Se è lo spazio euclideo dei numeri reali , allora${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1].}$
• Se è lo spazio euclideo allora la chiusura dell'insieme dei numeri razionali è l'intero spazio Diciamo che è denso in${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R}.}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R}.}$
• Se è il piano complesso allora${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\{z\in \mathbb {C} :|z|>1\}\right)=\{z\in \mathbb {C} :|z |\geq 1\}.}$
• Se è un sottoinsieme finito di uno spazio euclideo allora (Per uno spazio topologico generale, questa proprietà è equivalente all'assioma T ₁ .)${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \nomeoperatore {cl} _{X}S=S.}$

Sull'insieme dei numeri reali si possono inserire altre topologie rispetto a quella standard.

• Se è dotato della topologia limite inferiore , allora${\displaystyle X=\mathbb {R}}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1).}$
• Se si considera il la topologia discreta in cui ogni insieme è chiuso (aperto), allora${\displaystyle X=\mathbb {R}}$${\displaystyle \nomeoperatore {cl} _{X}((0,1))=(0,1).}$
• Se si considera il la topologia banale in cui l'unica chiusi (aperti) set sono l'insieme vuoto e si, allora${\displaystyle X=\mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=\mathbb {R}.}$

Questi esempi mostrano che la chiusura di un insieme dipende dalla topologia dello spazio sottostante. Gli ultimi due esempi sono casi speciali dei seguenti.

• In ogni spazio discreto , poiché ogni insieme è chiuso (e anche aperto), ogni insieme è uguale alla sua chiusura.
• In ogni spazio indiscreto poiché gli unici insiemi chiusi sono l'insieme vuoto e se stesso, abbiamo che la chiusura dell'insieme vuoto è l'insieme vuoto, e per ogni sottoinsieme non vuoto di In altre parole, ogni sottoinsieme non vuoto di un insieme indiscreto lo spazio è denso .${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \nomeoperatore {cl} _{X}A=X.}$

La chiusura di un insieme dipende anche dallo spazio in cui stiamo prendendo la chiusura. Ad esempio, se è l'insieme dei numeri razionali, con la solita topologia relativa indotta dallo spazio euclideo e se allora è sia chiuso che aperto in perché né il suo complemento può contenere , che sarebbe il limite inferiore di , ma non può essere in perché è irrazionale. Quindi, non ha una chiusura ben definita a causa del fatto che gli elementi di contorno non sono in . Tuttavia, se invece definiamo come l'insieme dei numeri reali e definiamo l'intervallo nello stesso modo, allora la chiusura di quell'intervallo è ben definita e sarebbe l'insieme di tutti i numeri reali maggiori o uguali a . ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle S=\{q\in \mathbb {Q} :q^{2}>2,q>0\},}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Operatore di chiusura

Un operatore di chiusura su un insieme è una mappatura dell'insieme di potenza di , in se stesso che soddisfa gli assiomi di chiusura di Kuratowski . Dato uno spazio topologico , la chiusura topologica induce una funzione che viene definita inviando un sottoinsieme a dove può essere usata la notazione o al suo posto. Viceversa, se è un operatore di chiusura su un insieme , si ottiene uno spazio topologico definendo gli insiemi chiusi come esattamente quei sottoinsiemi che soddisfano (quindi i complementi di questi sottoinsiemi formano gli insiemi aperti della topologia). ${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle (X,\tau)}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}:\wp (X)\to \wp (X)}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle \nomeoperatore {cl} _{X}S,}$${\displaystyle {\overline {S}}}$${\displaystyle S^{-}}$${\displaystyle \mathbb {c}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle \mathbb {c} (S)=S}$${\displaystyle X}$

L'operatore chiusura è duale al interno operatore, che viene indicato con nel senso che ${\displaystyle \nomeoperatore {cl} _{X}}$${\displaystyle \operatorname {int} _{X},}$

${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}$

e anche

${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus \operatorname {cl} _{X}(X\setminus S).}$

Pertanto, la teoria astratta degli operatori di chiusura e gli assiomi di chiusura di Kuratowski possono essere facilmente tradotti nel linguaggio degli operatori interni sostituendo gli insiemi con i loro complementi in${\displaystyle X.}$

In generale, l'operatore di chiusura non effettua il pendolarismo con gli incroci. Tuttavia, in uno spazio metrico completo vale il seguente risultato:

Fatti sulle chiusure

Un sottoinsieme è chiuso in se e solo se In particolare: ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \nomeoperatore {cl} _{X}S=S.}$

• La chiusura dell'insieme vuoto è l'insieme vuoto;
• La chiusura di se stessa è${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
• La chiusura di un'intersezione di insiemi è sempre un sottoinsieme (ma non deve essere necessariamente uguale a) l'intersezione delle chiusure degli insiemi.
• In un'unione di un numero finito di insiemi, la chiusura dell'unione e l'unione delle chiusure sono uguali; l'unione degli insiemi zero è l'insieme vuoto, e quindi questa affermazione contiene l'affermazione precedente sulla chiusura dell'insieme vuoto come caso speciale.
• La chiusura dell'unione di infiniti insiemi non deve necessariamente essere uguale all'unione delle chiusure, ma è sempre un superinsieme dell'unione delle chiusure.

Se e se è un sottospazio di (significato che è dotato della topologia del sottospazio che lo induce), allora e la chiusura di calcolato in è uguale all'intersezione di e la chiusura di calcolato in : ${\displaystyle S\subseteq T\subseteq X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S~=~T\cap \operatorname {cl} _{X}S.}$

In particolare, è denso in se e solo se è un sottoinsieme di${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle \nomeoperatore {cl} _{X}S.}$

Se ma non è necessariamente un sottoinsieme di solo allora ${\displaystyle S,T\subseteq X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}(S\cap T)~\subseteq ~T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$

è garantito in generale, dove questo contenimento potrebbe essere rigoroso (si consideri ad esempio con la solita topologia, e ) sebbene se è un sottoinsieme aperto di allora l'uguaglianza rimarrà (indipendentemente dalla relazione tra e ). Di conseguenza, se è una copertura aperta di e se è un sottoinsieme, allora: ${\displaystyle X=\mathbb {R}}$${\displaystyle T=(-\infty ,0],}$${\displaystyle S=(0,\infty)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}(S\cap T)=T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X}$

${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}\operatorname {cl} _{U}(U\cap S)}$

perché per ogni (dove every è dotato della topologia del sottospazio indotta su di esso da ). Questa uguaglianza è particolarmente utile quando è una varietà e gli insiemi nella copertura aperta sono domini di carte coordinate . In parole povere , questo risultato mostra che la chiusura in di qualsiasi sottoinsieme può essere calcolata "localmente" negli insiemi di qualsiasi copertura aperta di e quindi unificata insieme. In questo modo, questo risultato può essere visto come l'analogo del fatto ben noto che un sottoinsieme è chiuso in se e solo se è " localmente chiuso in ", nel senso che se è un coperchio aperto di allora è chiuso in se e solo se è chiuso per ogni${\displaystyle \operatorname {cl} _{U}(S\cap U)=U\cap \operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\cap U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}.}$

Interpretazione categoriale

Si può elegantemente definire l'operatore di chiusura in termini di frecce universali, come segue.

Il powerset di un insieme può essere realizzato come una categoria di ordine parziale in cui gli oggetti sono sottoinsiemi e i morfismi sono mappe di inclusione ogni volta che è un sottoinsieme di Inoltre, una topologia su è una sottocategoria di con funzione di inclusione L'insieme di sottoinsiemi chiusi contenente un fisso sottoinsieme può essere identificato con la categoria virgola Questa categoria — anche un ordine parziale — ha quindi oggetto iniziale Quindi c'è una freccia universale da a data dall'inclusione${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle I:T\to P.}$${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle (A\downarrow I).}$${\displaystyle \nomeoperatore {cl} A.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle io,}$${\displaystyle A\to \operatorname {cl} A.}$

Analogamente, poiché ogni insieme chiuso contenente corrisponde ad un aperto contenuto in possiamo interpretare la categoria come l'insieme degli aperti contenuti in con oggetto terminale l' interno di${\displaystyle X\setminus A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (I\downarrow X\setminus A)}$${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \nomeoperatore {int} (A),}$${\displaystyle A.}$

Tutte le proprietà della chiusura possono essere derivate da questa definizione e da alcune proprietà delle categorie precedenti. Inoltre, questa definizione rende precisa l'analogia tra la chiusura topologica e altri tipi di chiusure (ad esempio la chiusura algebrica ), poiché tutte sono esempi di frecce universali .

Guarda anche

• Punto aderente  – Un punto che appartiene alla chiusura di alcuni danno sottoinsieme di uno spazio topologico.
• Algebra di chiusura
• Insieme derivato (matematica)
• Interni (topologia)
• Punto limite  - Un punto x in uno spazio topologico, tutti i cui dintorni contengono qualche altro punto in un dato sottoinsieme diverso da x

Appunti

Riferimenti

Bibliografia

• Baker, Crump W. (1991), Introduzione alla topologia , Wm. C. Brown Editore, ISBN 0-697-05972-3
• Croom, Fred H. (1989), Principi di topologia , Saunders College Publishing, ISBN 0-03-012813-7
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Topologia elementare (2a ed.), Dover, ISBN 0-486-66522-4
• Hocking, John G.; Young, Gail S. (1988) [1961], Topologia , Dover, ISBN 0-486-65676-4
• Kuratowski, K. (1966), Topologia , I , Academic Press
• Pervin, William J. (1965), Fondamenti di topologia generale , Academic Press
• Schubert, Horst (1968), Topologia , Allyn e Bacon
• Zălinescu, Constantin (30 luglio 2002). Analisi convessa in spazi vettoriali generali . Bordo del fiume, NJ Londra: Pubblicazione scientifica mondiale . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556 . OCLC  285163112 .

link esterno

• "Chiusura di un insieme" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]