Mappa lineare discontinua - Discontinuous linear map

In matematica , le mappe lineari costituiscono un'importante classe di funzioni "semplici" che conservano la struttura algebrica degli spazi lineari e sono spesso utilizzate come approssimazioni a funzioni più generali (vedi approssimazione lineare ). Se gli spazi coinvolti sono anche spazi topologici (cioè spazi vettoriali topologici ), allora ha senso chiedersi se tutte le mappe lineari sono continue . Si scopre che per mappe definite su spazi vettoriali topologici di dimensione infinita (es. spazi normati di dimensione infinita ), la risposta è generalmente no: esistono mappe lineari discontinue . Se il dominio di definizione è completo , è più complicato; si può provare che tali mappe esistono, ma la dimostrazione si basa sull'assioma della scelta e non fornisce un esempio esplicito.

Una mappa lineare da uno spazio a dimensione finita è sempre continua

Siano X e Y due spazi normati e f un'applicazione lineare da X a Y . Se X è di dimensione finita , scegli una base ( e ₁ , e ₂ , …, e _n ) in X che può essere considerata come vettori unitari. Poi,

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}f(e_{i}),}$

e quindi per la disuguaglianza triangolare ,

${\displaystyle \|f(x)\|=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}f(e_{i})\right\|\leq \sum _{i =1}^{n}|x_{i}|\|f(e_{i})\|.}$

lasciare

${\displaystyle M=\sup _{i}\{\|f(e_{i})\|\},}$

e usando il fatto che

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\leq C\|x\|}$

per qualche C >0 che segue dal fatto che due norme qualsiasi su uno spazio a dimensione finita sono equivalenti , si trova

${\displaystyle \|f(x)\|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\right)M\leq CM\|x\|.}$

Quindi, è un operatore lineare limitato e quindi è continuo. Infatti, per vedere questo, notate semplicemente che f è lineare, e quindi per qualche costante universale K . Quindi per qualsiasi , possiamo scegliere in modo che ( e sono le palle normate attorno a e ), che dia continuità. ${\displaystyle f}$${\displaystyle \|f(x)-f(x')\|=\|f(x-x')\|\leq K\|x-x'\|}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta \leq \epsilon /K}$${\displaystyle f(B(x,\delta))\subseteq B(f(x),\epsilon)}$${\displaystyle B(x,\delta)}$${\displaystyle B(f(x),\epsilon )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$

Se X è infinito dimensionale, questa prova fallirà poiché non vi è alcuna garanzia che esista il supremo M. Se Y è lo spazio zero {0}, l'unica mappa tra X e Y è la mappa zero che è banalmente continua. In tutti gli altri casi, quando X è infinito dimensionale e Y non è lo spazio zero, si può trovare una mappa discontinua da X a Y .

Un esempio concreto

Esempi di mappe lineari discontinue sono facili da costruire in spazi non completi; su ogni successione di Cauchy di vettori linearmente indipendenti che non ha limite, esiste un operatore lineare tale che le quantità crescano senza limiti. In un certo senso, gli operatori lineari non sono continui perché lo spazio ha "buchi". ${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \|T(e_{i})\|/\|e_{i}\|}$

Ad esempio, si consideri lo spazio X delle funzioni regolari a valori reali sull'intervallo [0, 1] con norma uniforme , cioè,

${\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|.}$

La mappa derivata -at-a-point , data da

${\displaystyle T(f)=f'(0)\,}$

definita su X e con valori reali, è lineare, ma non continua. Si consideri infatti la successione

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\sin(n^{2}x)}{n}}}$

per n ≥1. Questa successione converge uniformemente alla funzione costantemente zero, ma

${\displaystyle T(f_{n})={\frac {n^{2}\cos(n^{2}\cdot 0)}{n}}=n\to ​​\infty}$

come n →∞ invece del quale varrebbe per una mappa continua. Nota che T è a valori reali, e quindi è in realtà un funzionale lineare su X (un elemento dello spazio duale algebrico X ^* ). Analogamente discontinua è l'applicazione lineare X → X che assegna a ciascuna funzione la sua derivata. Si noti che sebbene l'operatore derivato non sia continuo, è chiuso . ${\displaystyle T(f_{n})\to T(0)=0}$

Il fatto che il dominio non sia completo qui è importante. Gli operatori discontinui su spazi completi richiedono un po' più di lavoro.

Un esempio non costruttivo

Una base algebrica per i numeri reali come spazio vettoriale sui razionali è nota come base di Hamel (si noti che alcuni autori usano questo termine in un senso più ampio per indicare una base algebrica di qualsiasi spazio vettoriale). Nota che due numeri non commensurabili , diciamo 1 e , sono linearmente indipendenti. Si può trovare una base di Hamel che li contiene e definire una mappa f da R a R in modo che f (π) = 0, f agisca come identità sul resto della base di Hamel ed estendersi a tutta R per linearità. Sia { r _n } _n una qualsiasi successione di razionali che converge a . Allora lim _n f ( r _n ) = π, ma f (π) = 0. Per costruzione, f è lineare su Q (non su R ), ma non continua. Nota che anche f non è misurabile ; una funzione reale additiva è lineare se e solo se è misurabile, quindi per ogni tale funzione esiste un insieme di Vitali . La costruzione di f si basa sull'assioma della scelta.

Questo esempio può essere esteso in un teorema generale sull'esistenza di applicazioni lineari discontinue su qualsiasi spazio normato a dimensione infinita (purché il codominio non sia banale).

Teorema di esistenza generale

Le mappe lineari discontinue possono essere dimostrate più in generale anche se lo spazio è completo. Lasciate X e Y siano spazi normati sopra il campo K dove K = R o K = C . Supponiamo che X sia infinito dimensionale e Y non sia lo spazio zero. Troveremo un'applicazione lineare discontinua f da X a K , che implicherà l'esistenza di un'applicazione lineare discontinua g da X a Y data dalla formula g ( x ) = f ( x ) y ₀ dove y ₀ è un arbitrario diverso da zero vettore in Y .

Se X è infinito dimensionale, mostrare l'esistenza di un funzionale lineare non continuo equivale a costruire f non limitato. Per questo, si consideri una sequenza ( e _n ) _n ( n ≥ 1) di linearmente indipendenti vettori in X . Definire

${\displaystyle T(e_{n})=n\|e_{n}\|\,}$

per ogni n = 1, 2, ... Completa questa sequenza di vettori linearmente indipendenti su una base dello spazio vettoriale di X , e definisci T in corrispondenza degli altri vettori nella base come zero. T così definito si estenderà unicamente a un'applicazione lineare su X , e poiché è chiaramente non limitato, non è continuo.

Si noti che utilizzando il fatto che qualsiasi insieme di vettori linearmente indipendenti può essere completato su una base, abbiamo implicitamente utilizzato l'assioma della scelta, che non era necessario per l'esempio concreto nella sezione precedente ma uno.

Ruolo dell'assioma della scelta

Come notato sopra, l' assioma di scelta (AC) è usato nel teorema di esistenza generale delle mappe lineari discontinue. Infatti, non esistono esempi costruttivi di mappe lineari discontinue a dominio completo (ad esempio, spazi di Banach ). Nell'analisi, come è di solito praticata dai matematici che lavorano, viene sempre impiegato l'assioma della scelta (è un assioma della teoria degli insiemi ZFC ); quindi, per l'analista, tutti gli spazi vettoriali topologici a dimensione infinita ammettono mappe lineari discontinue.

D'altra parte, nel 1970 Robert M. Solovay espose un modello di teoria degli insiemi in cui ogni insieme di reali è misurabile. Ciò implica che non esistono funzioni reali lineari discontinue. Chiaramente AC non regge nel modello.

Il risultato di Solovay mostra che non è necessario assumere che tutti gli spazi vettoriali a dimensione infinita ammettano mappe lineari discontinue, e ci sono scuole di analisi che adottano un punto di vista più costruttivista . Ad esempio, HG Garnir, nella ricerca dei cosiddetti "spazi onirici" (spazi vettoriali topologici su cui ogni mappa lineare in uno spazio normato è continua), è stato portato ad adottare ZF + DC + BP (la scelta dipendente è una forma indebolita e la proprietà di Baire è una negazione di AC forte) come i suoi assiomi per dimostrare il teorema del grafo chiuso di Garnir-Wright che afferma, tra le altre cose, che qualsiasi mappa lineare da un F-spazio a un TVS è continua. Andando all'estremo del costruttivismo , c'è il teorema di Ceitin , che afferma che ogni funzione è continua (questo è da intendersi nella terminologia del costruttivismo, secondo il quale solo le funzioni rappresentabili sono considerate funzioni). Tali posizioni sono mantenute solo da una piccola minoranza di matematici che lavorano.

Il risultato è che l'esistenza di mappe lineari discontinue dipende da AC; è coerente con la teoria degli insiemi senza AC che non ci sono mappe lineari discontinue su spazi completi. In particolare, nessuna costruzione concreta come la derivata può riuscire a definire una mappa lineare discontinua ovunque su uno spazio completo.

Operatori chiusi

Molti operatori lineari discontinui naturali sono chiusi , una classe di operatori che condividono alcune delle caratteristiche degli operatori continui. Ha senso chiedersi quali operatori lineari su un dato spazio sono chiusi. Il teorema del grafo chiuso afferma che un operatore chiuso ovunque definito su un dominio completo è continuo, quindi per ottenere un operatore chiuso discontinuo, si devono ammettere operatori che non sono definiti ovunque.

Per essere più concreti, sia una mappa da a con domain , scritto . Non perdiamo molto se sostituiamo X con la chiusura di . Cioè, nello studio di operatori che non sono definiti ovunque, si può limitare la propria attenzione a operatori densamente definiti senza perdita di generalità. ${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \nomeoperatore {Dom} (T)}$${\displaystyle T:\nomeoperatore {Dom} (T)\subseteq X\to Y}$${\displaystyle \nomeoperatore {Dom} (T)}$

Se il grafico di è chiuso in X × Y , chiamiamo T chiuso . Altrimenti, considera la sua chiusura in X × Y . If è esso stesso il grafo di qualche operatore , si chiama chiudibile , e si chiama chiusura di . ${\displaystyle \Gamma (T)}$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\overline {\Gamma (T)}}}$${\displaystyle {\overline {\Gamma (T)}}}$${\displaystyle {\overline {T}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\overline {T}}}$${\displaystyle T}$

Quindi la domanda naturale da porsi sugli operatori lineari che non sono definiti ovunque è se sono chiudibili. La risposta è "non necessariamente"; infatti, ogni spazio normato di dimensione infinita ammette operatori lineari non chiudibili. Come nel caso degli operatori discontinui considerati sopra, la dimostrazione richiede l'assioma di scelta e quindi è in generale non costruttiva, anche se ancora, se X non è completo, ci sono esempi costruibili.

Infatti, c'è anche un esempio di un operatore lineare il cui grafico ha chiusura tutti di X × Y . Tale operatore non è chiudibile. Sia X lo spazio delle funzioni polinomiali da [0,1] a R e Y lo spazio delle funzioni polinomiali da [2,3] a R . Sono sottospazi di C ([0,1]) e C ([2,3]) rispettivamente, e quindi spazi normati. Definire un operatore T che porti la funzione polinomiale x ↦ p ( x ) su [0,1] alla stessa funzione su [2,3]. Come conseguenza del teorema di Stone-Weierstrass , il grafico di questo operatore è denso in X × Y , quindi questo fornisce una sorta di mappa lineare massimamente discontinua (conferisce funzione continua da nessuna parte ). Nota che X non è completo qui, come deve essere il caso quando esiste una mappa così costruibile.

Impatto per i doppi spazi

Lo spazio duale di uno spazio vettoriale topologico è la raccolta di mappe lineari continue dallo spazio al campo sottostante. Quindi il fallimento di alcune mappe lineari per essere continue per spazi normati di dimensione infinita implica che per questi spazi, bisogna distinguere lo spazio duale algebrico dallo spazio duale continuo che è quindi un sottoinsieme proprio. Illustra il fatto che è necessaria una dose extra di cautela nel fare analisi su spazi a dimensione infinita rispetto a quelli a dimensione finita.

Oltre gli spazi normati

L'argomento per l'esistenza di mappe lineari discontinue su spazi normati può essere generalizzato a tutti gli spazi vettoriali topologici metrizzabili, specialmente a tutti gli spazi di Fréchet, ma esistono spazi vettoriali topologici localmente convessi a dimensione infinita tali che ogni funzionale è continuo. D'altra parte, il teorema di Hahn-Banach , che si applica a tutti gli spazi localmente convessi, garantisce l'esistenza di molti funzionali lineari continui, e quindi un grande spazio duale. Infatti, ad ogni insieme convesso, il gauge di Minkowski associa un funzionale lineare continuo . Il risultato è che gli spazi con meno insiemi convessi hanno meno funzionali e, nel peggiore dei casi, uno spazio potrebbe non avere funzionali a parte il funzionale zero. Questo è il caso degli spazi L ^p ( R , dx ) con 0 <  p  < 1, da cui segue che questi spazi sono non convessi. Si noti che qui è indicata la misura di Lebesgue sulla retta reale. Ci sono altri L ^p spazi con 0 <  p  < 1 che hanno spazi duali non banali.

Un altro esempio di questo tipo è lo spazio delle funzioni misurabili a valori reali sull'intervallo unitario con quasinorma data da

${\displaystyle ||f||=\int _{I}{\frac {|f(x)|}{1+|f(x)|}}dx.}$

Questo spazio non localmente convesso ha un banale spazio duale.

Si possono considerare spazi ancora più generali. Ad esempio, l'esistenza di un omomorfismo tra gruppi metrici separabili completi può anche essere mostrata in modo non costruttivo.

Appunti

Riferimenti

• Constantin Costara, Dumitru Popa, Esercizi di analisi funzionale , Springer, 2003. ISBN  1-4020-1560-7 .
• Schechter, Eric, Manuale di analisi e fondamenti , Academic Press, 1997. ISBN  0-12-622760-8 .