Spazio metrico completo - Complete metric space

In analisi matematica , uno spazio metrico $M$ è chiamato completo (o uno spazio Cauchy ) se ogni successione di Cauchy di punti in $M$ ha un limite , che è anche in $M$ .

Intuitivamente, uno spazio è completo se non ci sono "punti mancanti" da esso (all'interno o al confine). Ad esempio, l'insieme dei numeri razionali non è completo, perché pe è "mancante" da esso, anche se si può costruire una sequenza di Cauchy di numeri razionali che converge ad esso (vedi ulteriori esempi sotto). È sempre possibile "riempire tutti i buchi", portando al completamento di un determinato spazio, come spiegato di seguito. ${\sqrt {2}}$

Definizione

Sequenza di Cauchy

Una successione

x 1, x 2, x 3, \dots

in uno spazio metrico

(X, d)

si chiama Cauchy se per ogni numero reale positivo

r > 0

esiste un intero positivo

N

tale che per tutti gli interi positivi

m, n > N

,

d (x m, x n) < r

.

Costante di espansione

La costante di espansione di uno spazio metrico è l' infimo di tutte le costanti tali che ogni volta che la famiglia si interseca a coppie, l'intersezione è non vuota.

{\textstyle \mu}

{\textstyle \left\{{\overline {B}}(x_{\alpha },\,r_{\alpha })\right\}}

{\textstyle \bigcap _{\alpha }{\overline {B}}(x_{\alpha },\mu r_{\alpha })}

Spazio completo

Uno spazio metrico

(X, d)

è completo se è soddisfatta una delle seguenti condizioni equivalenti:

Ogni sequenza di Cauchy di punti in $X$ ha un limite che è anche in $X$ .
Ogni successione di Cauchy in $X$ converge in $X$ (cioè in un punto di $X$ ).
La costante di espansione di $(X, d)$ è ≤ 2.
Ogni successione decrescente di non vuote chiuse sottoinsiemi di $X$ , con diametri tendenti a 0, ha un non vuota intersezione : se $F n$ è chiusa e non vuoto, $F n + 1 \subseteq F n$ per ogni $n$ , e $diam (F n) \to 0$ , allora esiste un punto $x \in X$ comune a tutti gli insiemi $F n$ .

Esempi

Lo spazio Q dei numeri razionali , con la metrica standard data dal valore assoluto della differenza , non è completo. Consideriamo ad esempio la successione definita da $x 1 = 1$ e Questa è una successione di Cauchy di numeri razionali, ma non converge verso nessun limite razionale: Se la successione aveva un limite $x$ , allora risolvendo necessariamente x ² = 2, tuttavia nessun numero razionale ha questa proprietà. Tuttavia, considerato come una sequenza di numeri reali , converge al numero irrazionale . $x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}.$ $x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{x}}$ ${\sqrt {2}}$

Anche l'intervallo aperto $(0,1)$ , sempre con la metrica del valore assoluto, non è completo. La sequenza definita da $x n$ =1/nè Cauchy, ma non ha limiti nello spazio dato. Tuttavia l' intervallo chiuso $[0,1]$ è completo; per esempio la sequenza data ha un limite in questo intervallo e il limite è zero.

Lo spazio R dei numeri reali e lo spazio C dei numeri complessi (con la metrica data dal valore assoluto) sono completi, così come lo spazio euclideo R ⁿ , con la solita metrica della distanza . Al contrario, gli spazi vettoriali normati a dimensione infinita possono o non possono essere completi; quelli che sono completi sono spazi di Banach . Lo spazio C $[a, b]$ di funzioni continue a valori reali su un intervallo chiuso e limitato è uno spazio di Banach, e quindi uno spazio metrico completo, rispetto alla norma suprema . Tuttavia, la norma suprema non fornisce una norma sullo spazio C $(a, b)$ delle funzioni continue su $(a, b)$ , poiché può contenere funzioni illimitate. Invece, con la topologia della convergenza compatta , si può dare a C $(a, b)$ la struttura di uno spazio di Fréchet : uno spazio vettoriale topologico localmente convesso la cui topologia può essere indotta da una metrica traslazionale completa.

Lo spazio Q _p dei numeri p -adici è completo per qualsiasi numero primo $p$ . Questo spazio completa Q con la metrica p -adica nello stesso modo in cui R completa Q con la solita metrica.

Se $S$ è un insieme arbitrario, allora l'insieme $S N$ di tutte le sequenze in $S$ diventa uno spazio metrico completo se si definisce la distanza tra le sequenze $(x n)$ e $(y n)$ di essere $1 / n$ , dove $N$ è l'indice più piccolo per cui $x N$ è distinto da $y N$ , o $0$ se tale indice non esiste. Questo spazio è omeomorfo al prodotto di un numero numerabile di copie dello spazio discreto $S$ .

Le varietà Riemanniane complete sono dette varietà geodetiche ; la completezza segue dal teorema di Hopf-Rinow .

Alcuni teoremi

Ogni spazio metrico compatto è completo, sebbene gli spazi completi non debbano essere compatti. Infatti, uno spazio metrico è compatto se e solo se è completo e totalmente limitato . Questa è una generalizzazione del teorema di Heine-Borel , che afferma che ogni sottospazio chiuso e limitato $S$ di $R n$ è compatto e quindi completo.

Sia $(X, d)$ uno spazio metrico completo. Se $A \subseteq X$ è un insieme chiuso, anche $A$ è completo. Sia $(X, d)$ uno spazio metrico. Se $A \subseteq X$ è un sottospazio completo, anche $A$ è chiuso.

Se $X$ è un insieme e $M$ è uno spazio metrico completo, allora l'insieme $B(X, M)$ di tutte le funzioni limitate $f$ da $X$ a $M$ è uno spazio metrico completo. Qui definiamo la distanza in $B(X, M)$ in termini della distanza in $M$ con la norma suprema

d(f,g)\equiv \sup \left\{d[f(x),g(x)]:x\in X\right\}

Se $X$ è uno spazio topologico e $M$ è uno spazio metrico completo, allora l'insieme $C b (X, M)$ costituito da tutte le funzioni continue limitate $f$ da $X$ a $M$ è un sottospazio chiuso di $B(X, M)$ e quindi anche completo .

Il teorema della categoria di Baire afferma che ogni spazio metrico completo è uno spazio di Baire . Cioè, l' unione di molti sottoinsiemi dello spazio che non sono densi da nessuna parte ha un interno vuoto .

Il teorema del punto fisso di Banach afferma che una mappatura di contrazione su uno spazio metrico completo ammette un punto fisso. Il teorema del punto fisso è spesso usato per dimostrare il teorema della funzione inversa su spazi metrici completi come gli spazi di Banach.

Teorema (C. Ursescu) — Sia $X$ uno spazio metrico completo e sia $S 1, S 2, \dots$ una successione di sottoinsiemi di $X$ .

Se ogni $S i$ è chiuso in $X$ allora . ${\textstyle \operatorname {cl} \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} S_{i}\right)=\operatorname {cl} \operatorname {int} \left( \bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)}$
Se ogni $S i$ è aperto in $X$ allora . ${\textstyle \operatorname {int} \left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} S_{i}\right)=\operatorname {int} \operatorname {cl} \left( \bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)}$

Completamento

Per ogni spazio metrico M , si può costruire uno spazio metrico completo M′ (che è anche indicato come M ), che contiene M come sottospazio denso . Ha la seguente proprietà universale : se N è uno spazio metrico completo e f è una qualsiasi funzione uniformemente continua da M a N , allora esiste un'unica funzione uniformemente continua f′ da M′ a N che estende f . Lo spazio M' è determinato fino all'isometria da questa proprietà (tra tutti gli spazi metrici completi contenenti isometricamente M ), e si chiama completamento di M .

Il completamento di M può essere costruito come un insieme di classi di equivalenza di sequenze di Cauchy in M . Per ogni due successioni di Cauchy x = ( x _n ) e y = ( y _n ) in M , possiamo definire la loro distanza come

d(x,y)=\lim _{n}d\left(x_{n},y_{n}\right)

(Questo limite esiste perché i numeri reali sono completi.) Questa è solo una pseudometrica , non ancora una metrica, poiché due diverse sequenze di Cauchy possono avere la distanza 0. Ma "avente distanza 0" è una relazione di equivalenza sull'insieme di tutti i Cauchy sequenze, e l'insieme delle classi di equivalenza è uno spazio metrico, il completamento di M . Lo spazio originario è inglobato in questo spazio attraverso l'identificazione di un elemento x di M' con la classe di equivalenza delle successioni in M convergenti in x (cioè la classe di equivalenza contenente la sequenza con valore costante x ). Questo definisce un'isometria su un sottospazio denso, come richiesto. Si noti, tuttavia, che questa costruzione fa un uso esplicito della completezza dei numeri reali, quindi il completamento dei numeri razionali richiede un trattamento leggermente diverso.

La costruzione dei numeri reali di Cantor è simile alla costruzione precedente; i numeri reali sono il completamento dei numeri razionali utilizzando il valore assoluto ordinario per misurare le distanze. L'ulteriore sottigliezza con cui confrontarsi è che non è logicamente ammissibile utilizzare la completezza dei numeri reali nella loro stessa costruzione. Tuttavia, le classi di equivalenza delle sequenze di Cauchy sono definite come sopra, e l'insieme delle classi di equivalenza si dimostra facilmente essere un campo che ha i numeri razionali come sottocampo. Questo campo è completo, ammette un ordinamento totale naturale ed è l'unico campo completo totalmente ordinato (fino all'isomorfismo). È definito come il campo dei numeri reali (vedi anche Costruzione dei numeri reali per maggiori dettagli). Un modo per visualizzare questa identificazione con i numeri reali come si vede di solito è che la classe di equivalenza costituita da quelle sequenze di Cauchy di numeri razionali che "dovrebbero" avere un dato limite reale è identificata con quel numero reale. I troncamenti dell'espansione decimale danno solo una scelta della sequenza di Cauchy nella relativa classe di equivalenza.

Per un primo p , i numeri p -adici sorgono completando i numeri razionali rispetto a una metrica diversa.

Se la procedura di completamento precedente è applicata a uno spazio vettoriale normato , il risultato è uno spazio di Banach contenente lo spazio originale come sottospazio denso, e se è applicato a uno spazio prodotto interno , il risultato è uno spazio di Hilbert contenente lo spazio originale come un sottospazio denso.

Spazi topologicamente completi

La completezza è una proprietà della metrica e non della topologia , il che significa che uno spazio metrico completo può essere omeomorfo a uno non completo. Un esempio è dato dai numeri reali, che sono completi ma omeomorfi all'intervallo aperto $(0,1)$ , che non è completo.

In topologia si considerano spazi completamente metrizzabili , spazi per i quali esiste almeno una metrica completa che induce la data topologia. Gli spazi completamente metrizzabili possono essere caratterizzati come quegli spazi che possono essere scritti come un'intersezione di molti sottoinsiemi aperti numerabili di uno spazio metrico completo. Poiché la conclusione del teorema della categoria di Baire è puramente topologica, si applica anche a questi spazi.

Gli spazi completamente metrizzabili sono spesso chiamati topologicamente completi . Tuttavia, quest'ultimo termine è alquanto arbitrario poiché metrica non è la struttura più generale su uno spazio topologico per cui si può parlare di completezza (vedi la sezione Alternative e generalizzazioni ). Alcuni autori usano infatti il termine topologicamente completo per una classe più ampia di spazi topologici, gli spazi completamente uniformabili .

Uno spazio topologico omeomorfo a uno spazio metrico completo separabile è chiamato spazio polacco .

Alternative e generalizzazioni

Poiché le sequenze di Cauchy possono essere definite anche in gruppi topologici generali , un'alternativa all'affidarsi a una struttura metrica per definire la completezza e costruire il completamento di uno spazio è utilizzare una struttura di gruppo. Questo è più spesso visto nel contesto degli spazi vettoriali topologici , ma richiede solo l'esistenza di un'operazione di "sottrazione" continua. In questa impostazione, la distanza tra due punti x ed y non è misurato da un numero reale ε tramite la metrica d nel confronto d ( x , y ) < ε , ma di un intorno aperto N di 0 tramite sottrazione nel confronto x − y ∈ N .

Una generalizzazione comune di queste definizioni può essere trovata nel contesto di uno spazio uniforme , dove un entourage è un insieme di tutte le coppie di punti che si trovano a non più di una particolare "distanza" l'uno dall'altro.

È anche possibile sostituire le sequenze di Cauchy nella definizione di completezza con reti di Cauchy o filtri di Cauchy . Se ogni rete di Cauchy (o equivalentemente ogni filtro di Cauchy) ha un limite in X , allora X si dice completo. Si può inoltre costruire un completamento per uno spazio uniforme arbitrario simile al completamento di spazi metrici. La situazione più generale in cui si applicano le reti di Cauchy sono gli spazi di Cauchy ; anche questi hanno una nozione di completezza e completamento proprio come spazi uniformi.

Guarda anche

Spazio cauchy
Completamento (algebra)
Spazio uniforme completo
Spazio vettoriale topologico completo : un TVS in cui i punti che si avvicinano progressivamente l'uno all'altro convergeranno sempre verso un punto
Teorema di Knaster-Tarski

Appunti

Riferimenti

Kelley, John L. (1975). Topologia generale . Springer. ISBN 0-387-90125-6.
Kreyszig, Erwin , Analisi funzionale introduttiva con applicazioni (Wiley, New York, 1978). ISBN 0-471-03729-X
Lang, Serge , "Analisi reale e funzionale" ISBN 0-387-94001-4
Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997). Introduzione all'analisi funzionale . Ramanujan, MS (trad.). Oxford: Clarendon Press; New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-851485-9.

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