Tricotomia (matematica) - Trichotomy (mathematics)

In matematica , la legge della tricotomia afferma che ogni numero reale è positivo, negativo o zero.

Più in generale, una relazione binaria R su un insieme X è tricotomica se per ogni x ed y in X , esattamente uno xRy , yRx e x  =  y tiene. Scrivendo R come <, questo viene affermato nella logica formale come:

${\ Displaystyle \ forall x \ in X \, \ forall y \ in X \, ([x <y \, \ land \, \ lnot (y <x) \, \ land \, \ lnot (x = y) ] \, \ lor \, [\ lnot (x <y) \, \ land \, y <x \, \ land \, \ lnot (x = y)] \, \ lor \, [\ lnot (x < y) \, \ land \, \ lnot (y <x) \, \ land \, x = y]) \ ,.}$

Proprietà

• Una relazione è tricotomica se, e solo se, è asimmetrica e connessa .
• Se anche una relazione tricotomica è transitiva, allora è un ordine totale rigoroso ; questo è un caso speciale di un rigoroso ordine debole .

Esempi

• Sull'insieme X = { a , b , c }, la relazione R = {( a , b ), ( a , c ), ( b , c )} è transitiva e tricotomica, e quindi un ordine totale rigoroso .
• Sullo stesso insieme, la relazione ciclica R = {( a , b ), ( b , c ), ( c , a )} è tricotomica, ma non transitiva; è anche antitransitivo .

Tricotomia sui numeri

Una legge di tricotomia su un insieme X di numeri di solito esprime che una relazione d'ordine tacitamente data su X è tricotomica. Un esempio è la legge "Per i numeri reali arbitrari x e y , si applica esattamente uno tra x < y , y < x o x  =  y "; alcuni autori stabiliscono addirittura che y sia zero, basandosi sulla struttura di gruppo ordinata linearmente additiva del numero reale . Quest'ultimo è un gruppo dotato di un ordine tricotomo.

Nella logica classica, questo assioma della tricotomia vale per il confronto ordinario tra numeri reali e quindi anche per i confronti tra numeri interi e tra numeri razionali . La legge non vale in generale nella logica intuizionista .

Nella teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel e nella teoria degli insiemi di Bernays , la legge della tricotomia vale tra i numeri cardinali degli insiemi ben ordinabili anche senza l' assioma della scelta . Se l'assioma della scelta vale, allora la tricotomia vale tra numeri cardinali arbitrari (perché sono tutti ben ordinabili in quel caso).

Guarda anche

• Begriffsschrift contiene una prima formulazione della legge della tricotomia
• Dicotomia
• Legge di non contraddizione
• Legge di mezzo escluso
• Confronto a tre vie

Riferimenti