Il teorema di Tarski sulla scelta - Tarski's theorem about choice

In matematica , il teorema di Tarski , provato da Alfred Tarski  ( 1924 ), afferma che in ZF il teorema "Per ogni insieme infinito , c'è una mappa biunivoca tra i set e " implica l' assioma della scelta . Direzione opposta era già nota, così il teorema e assioma di scelta sono equivalenti. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A \ times A}$

Tarski ha detto Jan Mycielski  ( 2006 ), che quando ha cercato di pubblicare il teorema in Comptes Rendus de l'Académie des Sciences di Parigi, Fréchet e Lebesgue rifiutò di presentarlo. Fréchet ha scritto che un'implicazione tra due proposizioni ben note non è un nuovo risultato. Lebesgue ha scritto che un'implicazione tra due proposizioni false è di alcun interesse.

Prova

Il nostro obiettivo è quello di dimostrare che l'assioma di scelta è implicita l'affermazione "Per ogni insieme infinito : ". E 'noto che il teorema del buon ordinamento è equivalente a l'assioma di scelta, quindi è sufficiente a dimostrare che l'affermazione implica che per ogni set esiste un ben ordine . ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle | A | = | A \ times A |}$${\ Displaystyle B}$

Per insiemi finiti è banale, quindi assumeremo che è infinito. ${\ Displaystyle B}$

Poiché l'insieme di tutti ordinali tali che esistono una funzione suriettiva dal all'ordinale è un insieme, esiste un minimo diverso da zero ordinale, in modo tale che non v'è alcuna funzione suriettiva da a . Non ci assumiamo senza perdita di generalità che i set e sono disgiunti . Con la nostra ipotesi iniziale, , quindi esiste una corrispondenza biunivoca . ${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle | B \ tazza \ beta | = | (B \ tazza \ beta) \ times (B \ tazza \ beta) |}$ ${\ Displaystyle f: B \ cup \ beta \ a (B \ tazza \ beta) \ volte (B \ tazza \ beta)}$

Per ogni , è impossibile che , perché altrimenti potremmo definire una funzione suriettiva da a . Pertanto, esiste almeno un ordinale , in modo tale che , in tal modo l'insieme non è vuoto. ${\ Displaystyle x \ in B}$${\ Displaystyle \ beta \ times \ {x \} \ subseteq f [B]}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ gamma \ in \ beta}$${\ Displaystyle f (\ gamma) \ in \ beta \ times \ {x \}}$${\ Displaystyle S_ {x} = \ {\ gamma | f (\ gamma) \ in \ beta \ times \ {x \} \}}$

Con questo fatto nella nostra mente possiamo definire una nuova funzione: . Questa funzione è ben definita poiché è un insieme non vuoto di numeri ordinali, quindi ha un minimo. Ricordiamo che per ogni i set e sono disgiunti. Pertanto, possiamo definire un ordine ben su , per ogni definiremo , poiché l'immagine , cioè , è un insieme di ordinali e quindi ben ordinata. ${\ Displaystyle g (x) = \ min S_ {x}}$${\ Displaystyle S_ {x}}$${\ Displaystyle x, y \ in B, x \ neq y}$${\ Displaystyle S_ {x}}$${\ Displaystyle S_ {y}}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle x, y \ in B}$${\ Displaystyle x \ leq y \ sse g (x) \ leq g (y)}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle g [B]}$

Riferimenti

• Rubin, Herman; Rubin, Jean E. (1985), equivalenti della assioma della scelta II , Olanda Settentrionale / Elsevier, ISBN  0-444-87708-8
• Mycielski, Jan (2006), "Un sistema di assiomi della teoria degli insiemi per i razionalisti" (PDF) , Annunci della Società American Mathematical , 53 (2): 209
• Tarski, A. (1924), "Sur quelques teoremi qui equivale a l'axiome du choix" , Fundamenta Mathematicae , 5 : 147-154