Scheletro (teoria delle categorie) - Skeleton (category theory)

In matematica , uno scheletro di una categoria è una sottocategoria che, grosso modo, non contiene isomorfismi estranei . In un certo senso, lo scheletro di una categoria è la categoria equivalente "più piccola" , che cattura tutte le "proprietà categoriali" dell'originale. Infatti, due categorie sono equivalenti se e solo se hanno scheletri isomorfi . Una categoria è detta scheletrica se gli oggetti isomorfi sono necessariamente identici.

Definizione

Uno scheletro di una categoria C è una categoria equivalente D in cui non esistono due oggetti distinti isomorfi. In genere è considerata una sottocategoria. In dettaglio, uno scheletro di C è una categoria D tale che:

• D è una sottocategoria di C : ogni oggetto di D è un oggetto di C

${\ Displaystyle \ mathrm {Ob} (D) \ subseteq \ mathrm {Ob} (C)}$

per ogni coppia di oggetti d ₁ e d ₂ di D , i morfismi in D sono morfismi in C , cioè

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{D}(d_{1},d_{2})\subseteq \mathrm {Hom} _{C}(d_{1},d_{2})}$

e le identità e composizioni in D sono le restrizioni di quelle in C .

• L'inclusione di D in C è piena , il che significa che per ogni coppia di oggetti d ₁ e d ₂ di D rafforziamo la relazione del sottoinsieme sopra con un'uguaglianza:

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{D}(d_{1},d_{2})=\mathrm {Hom} _{C}(d_{1},d_{2})}$

• L'inclusione di D in C è essenzialmente surgettiva : Ogni C -oggetto è isomorfo a qualche D -oggetto.
• D è scheletrico: non esistono due oggetti D distinti sono isomorfi.

Esistenza e unicità

È un dato di fatto che ogni piccola categoria ha uno scheletro; più in generale, ogni categoria accessibile ha uno scheletro. (Questo è equivalente all'assioma della scelta .) Inoltre, sebbene una categoria possa avere molti scheletri distinti, due scheletri qualsiasi sono isomorfi come categorie , quindi fino all'isomorfismo delle categorie, lo scheletro di una categoria è unico .

L'importanza degli scheletri deriva dal fatto che essi sono (fino all'isomorfismo delle categorie), rappresentanti canonici delle classi di equivalenza delle categorie sotto la relazione di equivalenza delle categorie . Ciò deriva dal fatto che qualsiasi scheletro di una categoria C è equivalente a C , e che due categorie sono equivalenti se e solo se hanno scheletri isomorfi.

Esempi

• La categoria Insieme di tutti gli insiemi ha la sottocategoria di tutti i numeri cardinali come scheletro.
• La categoria K -Vect di tutti gli spazi vettoriali su un campo fisso ha come scheletro la sottocategoria costituita da tutte le potenze , dove α è un qualsiasi numero cardinale; per ogni m ed n finito , le mappe sono esattamente le matrici n × m con elementi in K .${\displaystyle K}$${\displaystyle K^{(\alpha )}}$${\displaystyle K^{m}\to K^{n}}$
• FinSet , la categoria di tutti gli insiemi finiti ha FinOrd , la categoria di tutti i numeri ordinali finiti, come scheletro.
• La categoria di tutti gli insiemi ben ordinati ha come scheletro la sottocategoria di tutti i numeri ordinali .
• Un preordine , cioè una piccola categoria tale che per ogni coppia di oggetti , l'insieme o ha un elemento o è vuoto, ha come scheletro un insieme parzialmente ordinato .${\displaystyle A,B}$${\displaystyle {\mbox{Hom}}(A,B)}$

Guarda anche

• Glossario della teoria delle categorie
• Categoria sottile

Riferimenti

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst e Strecker, George E. (1990). Categorie astratte e concrete . Pubblicato originariamente da John Wiley & Sons. ISBN  0-471-60922-6 . (ora edizione online gratuita)
• Robert Goldblatt (1984). Topoi, Analisi categoriale della logica (Studi di logica e fondamenti della matematica, 98). Olanda Settentrionale. Ristampato 2006 da Dover Publications.