Spazio di Baire (teoria degli insiemi) - Baire space (set theory)

In teoria degli insiemi , lo spazio di Baire è l' insieme di tutte le sequenze infinite di numeri naturali con una certa topologia . Questo spazio è comunemente usato nella teoria descrittiva degli insiemi , nella misura in cui i suoi elementi sono spesso chiamati "reali". È indicato N ^N , ^ω ω, con il simbolo o anche ω ^ω , da non confondere con l'ordinale numerabile ottenuto per elevamento a potenza ordinale . ${\mathcal {N}}$

Lo spazio di Baire è definito come il prodotto cartesiano di infinite copie numerabili dell'insieme dei numeri naturali, ed è data la topologia del prodotto (dove a ogni copia dell'insieme dei numeri naturali è data la topologia discreta ). Lo spazio di Baire è spesso rappresentato usando l' albero delle successioni finite dei numeri naturali.

Lo spazio di Baire può essere contrapposto allo spazio di Cantor , l'insieme di infinite sequenze di cifre binarie .

Topologia e alberi

La topologia di prodotto utilizzata per definire lo spazio Baire può essere descritta più concretamente in termini di alberi. Gli open set di base della topologia del prodotto sono i set di cilindri , qui caratterizzati come:

Se viene selezionato un qualsiasi insieme finito di coordinate di numeri naturali I={ i }, e per ogni i viene selezionato un particolare valore di numero naturale v _i , allora l'insieme di tutte le sequenze infinite di numeri naturali che hanno valore v _i nella posizione i è un insieme aperto di base. Ogni insieme aperto è un'unione numerabile di una raccolta di questi.

Usando una notazione più formale, si possono definire i singoli cilindri come

C_{n}[v]=\{(a_{1},a_{2},\cdots)\in \omega ^{\omega }:a_{n}=v\}

per una posizione intera fissa n e un valore intero v . I cilindri sono quindi i generatori per gli insiemi di cilindri: gli insiemi di cilindri sono quindi costituiti da tutte le intersezioni di un numero finito di cilindri. Cioè, dato un insieme finito di coordinate dei numeri naturali e dei corrispondenti valori dei numeri naturali per ciascuno , si considera l'intersezione dei cilindri $I\subseteq \omega$ $v_{i}$ $io\in io$

\bigcap _{i\in I}C_{i}[v_{i}]

Questa intersezione è chiamata set di cilindri e l'insieme di tutti questi set di cilindri fornisce una base per la topologia del prodotto . Ogni insieme aperto è un'unione numerabile di tali insiemi di cilindri.

Passando a una base diversa per la stessa topologia, si può ottenere una caratterizzazione alternativa degli insiemi aperti:

Se una sequenza di numeri naturali { w _i : i < n } è selezionato, allora l'insieme di tutte le sequenze infinite di numeri naturali che hanno valore w _i in posizione i per tutti i < n è un aperto di base. Ogni insieme aperto è un'unione numerabile di una raccolta di questi.

Così un aperto base nello spazio Baire è l'insieme di tutte le sequenze infinite di numeri naturali estendentesi un comune definita segmento iniziale τ . Questo porta ad una rappresentazione dello spazio di Baire come l'insieme di tutti i cammini infiniti che passano per l'intero albero ω ^<ω delle successioni finite di numeri naturali ordinate per estensione. Ogni segmento iniziale finito è un nodo dell'albero delle successioni finite. Ogni insieme aperto è determinato da un'unione (possibilmente infinita) di nodi di quell'albero. Un punto dello spazio di Baire è in un aperto se e solo se il suo cammino passa per uno dei nodi della sua unione determinante.

La rappresentazione dello spazio di Baire come percorsi attraverso un albero dà anche una caratterizzazione di insiemi chiusi. Ogni punto dello spazio di Baire passa per una sequenza di nodi di ω ^<ω . Gli insiemi chiusi sono complementi degli insiemi aperti. Ogni insieme chiuso è costituito da tutte le sequenze di Baire che non passano per alcun nodo che definisce il suo insieme aperto complementare. Per ogni chiuso C dello spazio di Baire esiste un sottoalbero T di ω ^<ω tale che ogni punto x è in C se e solo se x è un cammino passante per T : il sottoalbero T è costituito da tutti i segmenti iniziali di elementi di C . Viceversa, l'insieme dei cammini attraverso qualsiasi sottoalbero di ^<ω è un insieme chiuso.

I prodotti cartesiani hanno anche una topologia alternativa, la topologia a scatola . Questa topologia è molto più fine della topologia del prodotto in quanto non limita l'indicatore impostato come finito. Convenzionalmente, lo spazio di Baire non fa riferimento a questa topologia; si riferisce solo alla topologia del prodotto. $I=\{i\in \omega \}$

Proprietà

Lo spazio di Baire ha le seguenti proprietà:

È un perfetto spazio polacco , il che significa che è un secondo spazio numerabile completamente metrizzabile senza punti isolati . Come tale, ha la stessa cardinalità della linea reale ed è uno spazio di Baire nel senso topologico del termine.
È zero-dimensionale e totalmente disconnesso .
Non è localmente compatto .
È universale per gli spazi polacchi, nel senso che può essere mappato continuamente su qualsiasi spazio polacco non vuoto. Inoltre, ogni spazio polacco ha un denso sottospazio G _δ omeomorfo a un sottospazio G _{δ dello} spazio di Baire.
Lo spazio di Baire è omeomorfo al prodotto di un numero finito o numerabile di copie di se stesso.
È il gruppo dell'automorfismo di un modello saturo numerabilmente infinito di una teoria completa . $M$ $T$

Relazione con la linea reale

Lo spazio di Baire è omeomorfo all'insieme dei numeri irrazionali quando gli viene data la topologia del sottospazio ereditata dalla retta reale. Un omeomorfismo tra lo spazio di Baire e gli irrazionali può essere costruito usando le frazioni continue . Cioè, data una sequenza , possiamo assegnare un corrispondente numero irrazionale maggiore di 1 $(a_{0},a_{1},a_{2},\cdots )\in \omega ^{\omega }$

x=[a_{0}+1;a_{1}+1,a_{2}+1,\cdots ]=(a_{0}+1)+{\frac {1}{(a_{ 1}+1)+{\frac {1}{(a_{2}+1)+\cdots }}}}

Usando otteniamo un altro omeomorfismo da agli irrazionali nell'intervallo unitario aperto e possiamo fare lo stesso per gli irrazionali negativi. Vediamo che gli irrazionali sono la somma topologica di quattro spazi omeomorfi allo spazio di Baire e quindi anche omeomorfi allo spazio di Baire. $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ $\omega ^{\omega }$ $(0,1)$

Dal punto di vista della teoria descrittiva degli insiemi , il fatto che la linea reale sia connessa causa difficoltà tecniche. Per questo motivo è più comune studiare lo spazio di Baire. Poiché ogni spazio polacco è l'immagine continua dello spazio di Baire, è spesso possibile dimostrare risultati su spazi polacchi arbitrari mostrando che queste proprietà valgono per lo spazio di Baire e sono preservate da funzioni continue .

ω ^ω è anche di interesse indipendente, ma minore, nell'analisi reale , dove è considerato come uno spazio uniforme . Le strutture uniformi di ω ^ω e Ir (gli irrazionali) sono diverse, tuttavia: ω ^ω è completo nella sua solita metrica mentre Ir non lo è (sebbene questi spazi siano omeomorfi).

L'operatore di turno

L' operatore di spostamento sullo spazio di Baire, quando mappato sull'intervallo unitario dei reali , diventa l' operatore di Gauss–Kuzmin–Wirsing . Cioè, data una sequenza , l'operatore di spostamento T restituisce . Allo stesso modo, data la frazione continua , la mappa di Gauss ritorna . L'operatore corrispondente per le funzioni dallo spazio di Baire al piano complesso è l' operatore di Gauss–Kuzmin–Wirsing ; è l' operatore di trasferimento della mappa di Gauss. Cioè, si considerano le mappe dallo spazio di Baire al piano complesso . Questo spazio di mappe eredita una topologia dalla topologia del prodotto sullo spazio di Baire; ad esempio, si possono considerare funzioni aventi convergenza uniforme . La shift map, agendo su questo spazio di funzioni, è quindi l'operatore GKW. $h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor$ $(a_{1},a_{2},\cdots)$ $T(a_{1},a_{2},\cdots)=(a_{2},\cdots)$ $x=[a_{1},a_{2},\cdots ]$ $h(x)=[a_{2},\cdots ]$ $\omega ^{\omega }\to \mathbb {C}$ $\mathbb {C}$

La misura di Haar dell'operatore shift, cioè una funzione invariante rispetto agli spostamenti, è data dalla misura di Minkowski . Cioè, si ha che , dove T è lo spostamento ed E qualsiasi sottoinsieme misurabile di ω ^ω . $(...)^{\prime }$ $(TE)^{\prime }=E^{\prime }$