Problema di Schottky - Schottky problem

In matematica , il problema di Schottky, che prende il nome da Friedrich Schottky , è una classica questione di geometria algebrica , che richiede una caratterizzazione delle varietà giacobiane tra le varietà abeliane .

Formulazione geometrica

Più precisamente, si dovrebbero considerare le curve algebriche di un dato genere e i loro Jacobiani . C'è uno spazio dei moduli di tali curve, ed uno spazio dei moduli di varietà abeliane , , di dimensioni , che vengono principalmente polarizzate . C'è un morfismo

che su punti (punti geometrici , per essere più precisi) prende la classe di isomorfismo a . Il contenuto del teorema di Torelli è che è iniettivo (di nuovo, sui punti). Il problema Schottky richiede una descrizione dell'immagine di , denotato .

La dimensione di è , per , mentre la dimensione di è g ( g + 1) / 2. Ciò significa che le dimensioni sono le stesse (0, 1, 3, 6) per g = 0, 1, 2, 3. Quindi è il primo caso in cui le dimensioni cambiano, e questo fu studiato da F. Schottky negli anni Ottanta dell'Ottocento. Schottky ha applicato le costanti theta , che sono forme modulari per il semispazio superiore di Siegel , per definire il luogo di Schottky in . Una forma più precisa della domanda è determinare se l'immagine di coincide essenzialmente con il luogo di Schottky (in altre parole, se è denso di Zariski lì).

Caso dimensione 1

Tutte le curve ellittiche sono lo Jacobiano di se stesse, quindi la pila di moduli delle curve ellittiche è un modello per .

Dimensioni 2 e 3

Nel caso delle superfici abeliane, ci sono due tipi di varietà abeliane: la Jacobiana di una curva di genere 2, o il prodotto di Jacobiane di curve ellittiche . Ciò significa gli spazi dei moduli

incorporare in . Esiste una descrizione simile per la dimensione 3 poiché una varietà abeliana può essere il prodotto di Jacobiani.

Formulazione reticolare periodica

Se si descrive lo spazio dei moduli in termini intuitivi, come i parametri da cui dipende una varietà abeliana, allora il problema di Schottky chiede semplicemente quale condizione sui parametri implichi che la varietà abeliana provenga da uno Jacobiano della curva. Il caso classico, sul campo dei numeri complessi, ha ricevuto la maggior parte dell'attenzione, e quindi una varietà abeliana A è semplicemente un toro complesso di un tipo particolare, derivante da un reticolo in C g . In termini relativamente concreti, ci si chiede quali reticoli siano i reticoli periodici delle superfici di Riemann compatte .

La formulazione della matrice di Riemann

Si noti che una matrice di Riemann è abbastanza diversa da qualsiasi tensore di Riemann

Uno dei principali risultati di Bernhard Riemann è stata la sua teoria delle funzioni complesse tori e theta . Usando la funzione theta di Riemann , le condizioni necessarie e sufficienti su un reticolo sono state scritte da Riemann affinché un reticolo in C g avesse il toro corrispondente incorporato nello spazio proiettivo complesso . (L'interpretazione potrebbe essere arrivata più tardi, con Solomon Lefschetz , ma la teoria di Riemann era definitiva.) I dati sono quella che ora viene chiamata matrice di Riemann . Il complesso problema di Schottky diventa quindi la questione di caratterizzare le matrici dei periodi di superfici di Riemann compatte di genere g , formate integrando una base per gli integrali abeliani attorno ad una base per il primo gruppo di omologia , tra tutte le matrici di Riemann. È stato risolto da Takahiro Shiota nel 1986.

Geometria del problema

Ci sono un certo numero di approcci geometrici e la domanda ha anche dimostrato di implicare l' equazione di Kadomtsev-Petviashvili , correlata alla teoria dei solitoni .

Guarda anche

Riferimenti