Il cubo del principe Rupert - Prince Rupert's cube
In geometria , il cubo di Prince Rupert (dal nome del principe Rupert del Reno ) è il cubo più grande che può passare attraverso un foro praticato attraverso un cubo unitario , cioè attraverso un cubo i cui lati hanno lunghezza 1, senza dividere il cubo in due pezzi. La sua lunghezza laterale è di circa il 6% maggiore di quella del cubo unitario attraverso il quale passa. Il problema di trovare il quadrato più grande che si trova interamente all'interno di un cubo unitario è strettamente correlato e ha la stessa soluzione.
La proposta originale avanzata dal principe Rupert del Reno era che un cubo potesse essere fatto passare attraverso un foro praticato in un altro cubo della stessa dimensione senza dividere il cubo in due parti.
Soluzione
Se due punti sono posti su due bordi adiacenti di un cubo unitario, ciascuno a una distanza di 3/4 dal punto in cui i due bordi si incontrano, allora la distanza tra i due punti sarà
Questi due punti, insieme a un secondo insieme di due punti posti simmetricamente sulla faccia opposta del cubo, formano i quattro vertici di un quadrato che giace interamente all'interno del cubo unitario. Questo quadrato, estruso in entrambe le direzioni perpendicolarmente a se stesso, forma il foro attraverso il quale può passare un cubo più grande dell'originale (fino alla lunghezza del lato ).
Le parti del cubo unitario che rimangono, dopo aver svuotato questo foro, formano due prismi triangolari e due tetraedri irregolari , collegati da sottili ponticelli ai quattro vertici del quadrato. Ogni prisma ha come sei vertici due vertici adiacenti del cubo e quattro punti lungo i bordi del cubo a distanza 1/4 da questi vertici del cubo. Ogni tetraedro ha come suoi quattro vertici un vertice del cubo, due punti a distanza 3/4 da esso su due degli spigoli adiacenti, e un punto a distanza 3/16 dal vertice del cubo lungo il terzo spigolo adiacente.
Storia
Il cubo di Prince Rupert prende il nome dal principe Rupert del Reno . Secondo una storia raccontata nel 1693 dal matematico inglese John Wallis , il principe Rupert scommise che un buco poteva essere tagliato attraverso un cubo, abbastanza grande da lasciar passare un altro cubo della stessa dimensione. Wallis ha mostrato che in effetti un tale buco era possibile (con alcuni errori che non sono stati corretti fino a molto tempo dopo), e Prince Rupert ha vinto la sua scommessa.
Wallis ipotizzò che il buco sarebbe stato parallelo a una diagonale spaziale del cubo. La proiezione del cubo su un piano perpendicolare a questa diagonale è un esagono regolare , e il miglior foro parallelo alla diagonale può essere trovato disegnando il quadrato più grande possibile che può essere inscritto in questo esagono. Calcolare la dimensione di questo quadrato mostra che un cubo con la lunghezza del lato
- ,
leggermente più grande di uno, è in grado di passare attraverso il foro.
Circa 100 anni dopo, il matematico olandese Pieter Nieuwland scoprì che una soluzione migliore (in effetti, la soluzione ottimale) può essere ottenuta utilizzando un foro con un angolo diverso rispetto alla diagonale dello spazio. Nieuwland morì nel 1794 (un anno dopo aver preso una posizione come professore all'Università di Leiden ) ma la sua soluzione fu pubblicata postuma nel 1816 dal mentore di Nieuwland, Jean Henri van Swinden .
Da allora, il problema è stato ripetuto in molti libri di matematica ricreativa , in alcuni casi con la soluzione subottimale di Wallis invece della soluzione ottima.
Modelli
La costruzione di un modello fisico del cubo di Prince Rupert è resa difficile dall'accuratezza con cui tale modello deve essere misurato e dalla sottigliezza delle connessioni tra le parti rimanenti del cubo unitario dopo che il foro è stato praticato. Per il cubo interno di dimensioni massime con lunghezza 1.06... rispetto al cubo esterno di lunghezza 1, la costruzione di un modello è stata definita "matematicamente possibile ma praticamente impossibile".
Per l'esempio che utilizza due cubi della stessa dimensione, come originariamente proposto da Prince Rupert, è possibile la costruzione del modello. In un'indagine del 1950 sul problema, DJE Schrek pubblicò fotografie di un modello di un cubo che passa attraverso un foro in un altro cubo. Martin Raynsford ha progettato un modello per costruire modelli di carta di un cubo attraversato da un altro cubo; tuttavia, per tenere conto delle tolleranze della costruzione della carta e non strappare la carta nelle giunture strette tra le parti del cubo perforato, il foro nel modello di Raynsford lascia passare solo cubi leggermente più piccoli del cubo esterno.
Dall'avvento della stampa 3D , la costruzione di un Prince Rupert Cube con rapporto 1:1 è diventata facile.
generalizzazioni
Si dice che un poliedro P ha la proprietà di Rupert se un poliedro della stessa dimensione o maggiore e della stessa forma di P può passare attraverso un foro in P . Tutti e cinque i solidi platonici : il cubo, il tetraedro regolare , l' ottaedro regolare , il dodecaedro regolare e l' icosaedro regolare , hanno la proprietà di Rupert. È stato ipotizzato che tutti i poliedri convessi tridimensionali abbiano questa proprietà. Per n maggiore di 2, l' ipercubo n -dimensionale ha anche la proprietà di Rupert.
I cubi e tutti i solidi rettangolari hanno passaggi di Rupert in tutte le direzioni che non sono paralleli a nessuna delle loro facce.
Dei 13 solidi di Archimede , è noto che questi nove hanno la proprietà di Rupert: il cubottaedro , troncato ottaedro , il cubo troncato , rombicubottaedro , icosidodecaedro , troncato cubottaedro , troncato icosaedro , troncato dodecaedro . e tetraedro troncato .
Un altro modo per esprimere lo stesso problema è chiedere il quadrato più grande che si trova all'interno di un cubo unitario. Più in generale, Jerrard & Wetzel (2004) mostrano come trovare il rettangolo più grande di un dato rapporto di aspetto che si trova all'interno di un cubo unitario. Come mostrano, il rettangolo ottimale deve sempre passare per il centro del cubo, con i suoi vertici sui bordi del cubo. Sulla base di ciò, mostrano, a seconda delle proporzioni desiderate, che il rettangolo ottimale deve giacere su un piano che taglia diagonalmente i quattro angoli del cubo, oppure deve essere formato da un triangolo rettangolo isoscele su un angolo del cubo e dai due punti opposti, come nel caso del problema di Prince Rupert. Se le proporzioni non sono vincolate, il rettangolo con l'area più grande che rientra in un cubo è quello che ha due lati opposti del cubo come due dei suoi lati e due facce diagonali come gli altri due lati.
In alternativa, si può chiedere l' ipercubo a dimensione più grande che può essere disegnato all'interno di un ipercubo a unità dimensionale . La risposta è sempre un numero algebrico . Ad esempio, il problema per richiede il cubo più grande all'interno di un ipercubo quadridimensionale. Dopo che Martin Gardner ha posto questa domanda su Scientific American , Kay R. Pechenick DeVicci e molti altri lettori hanno mostrato che la risposta per il caso (3,4) è la radice quadrata della più piccola di due radici reali del polinomio , che risulta circa 1.007435. Per , la lunghezza ottimale del lato del quadrato più grande in un ipercubo tridimensionale è o o , a seconda che sia pari o dispari rispettivamente.
