Teorema dell'incorporamento di Hahn - Hahn embedding theorem

In matematica , specialmente nell'area dell'algebra astratta che si occupa di strutture ordinate su gruppi abeliani, il teorema dell'incorporamento di Hahn fornisce una semplice descrizione di tutti i gruppi abeliani ordinati linearmente . Prende il nome da Hans Hahn .

Panoramica

Il teorema afferma che ogni gruppo abeliano G ordinato linearmente può essere incorporato come un sottogruppo ordinato del gruppo additivo ℝ Ω dotato di un ordine lessicografico , dove ℝ è il gruppo additivo dei numeri reali (con il suo ordine standard), Ω è l'insieme di Classi di equivalenza di Archimede di G , e ℝ Ω è l'insieme di tutte le funzioni da Ω a ℝ che svaniscono al di fuori di un insieme ben ordinato.

Lasciate 0 denotano l'elemento dell'identità di G . Per ogni elemento g di G diverso da zero , esattamente uno degli elementi g o - g è maggiore di 0; denota questo elemento con | g |. Due elementi diversi da zero g e h di G sono equivalenti di Archimede se esistono numeri naturali N e M tali che N | g | > | h | e M | h | > | g |. Intuitivamente, questo significa che né g né h è "infinitesimale" rispetto all'altro. Il gruppo G è Archimede se tutti gli elementi diversi da zero sono equivalenti ad Archimede. In questo caso, Ω è un singoletto, quindi ℝ Ω è solo il gruppo di numeri reali. Quindi il Teorema di inclusione di Hahn si riduce al teorema di Hölder (che afferma che un gruppo abeliano ordinato linearmente è Archimede se e solo se è un sottogruppo del gruppo additivo ordinato dei numeri reali).

Gravett (1956) fornisce una chiara affermazione e dimostrazione del teorema. Gli articoli di Clifford (1954) e Hausner & Wendel (1952) forniscono insieme un'altra prova. Vedi anche Fuchs & Salce (2001 , p. 62).

Guarda anche

Riferimenti