Funzione ellittica - Elliptic function

Nel campo matematico dell'analisi complessa le funzioni ellittiche sono un tipo speciale di funzioni meromorfe , che soddisfano due condizioni di periodicità. Sono chiamate funzioni ellittiche perché derivano da integrali ellittici . Originariamente quegli integrali si verificavano al calcolo della lunghezza d'arco di un'ellisse .

Funzioni ellittiche importanti sono Jacobi funzioni ellittiche e il Weierstrass -funzione${\displaystyle \wp}$ .

L'ulteriore sviluppo di questa teoria ha portato a funzioni iperellittiche e forme modulari .

Definizione

Una funzione meromorphic è detta funzione ellittica, se ci sono due - lineari indipendenti numeri complessi tali che ${\displaystyle \mathbb {R}}$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(z+\omega _{1})=f(z)}$e .${\displaystyle f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C} }$

Quindi le funzioni ellittiche hanno due periodi e sono quindi chiamate anche doppiamente periodiche .

Reticolo dei periodi e dominio fondamentale

Se è una funzione ellittica con periodi vale anche che ${\displaystyle f}$${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$

${\displaystyle f(z+\gamma )=f(z)}$

per ogni combinazione lineare con . ${\displaystyle \gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}}$${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$

Il gruppo abeliano

${\displaystyle \Lambda:=\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle _{\mathbb {Z} }:=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z } \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}}$

prende il nome di reticolo del periodo .

Il parallelogramma generato da e${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$

${\displaystyle \{\mu \omega _{1}+\nu \omega _{2}\mid 0\leq \mu,\nu \leq 1\}}$

si chiama dominio fondamentale.

Geometricamente il piano complesso è piastrellato con parallelogrammi. Tutto ciò che accade nel dominio fondamentale si ripete in tutti gli altri. Per questo motivo possiamo vedere la funzione ellittica come funzioni con il gruppo quoziente come loro dominio. Questo gruppo di quozienti può essere visualizzato come un parallelogramma in cui vengono identificati i lati opposti, che topologicamente è un toro . ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda}$

I teoremi di Liouville

I seguenti tre teoremi sono noti come teoremi di Liouville (1847).

1° teorema

Una funzione ellittica olomorfa è costante.

Questa è la forma originale del teorema di Liouville e può essere derivata da essa. Una funzione ellittica olomorfa è limitata poiché assume tutti i suoi valori sul dominio fondamentale che è compatto. Quindi è costante per il teorema di Liouville.

2° teorema

Ogni funzione ellittica ha un numero finito di poli e la somma dei suoi residui è zero. ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda}$

Questo teorema implica che non esiste una funzione ellittica diversa da zero con esattamente un polo di ordine uno o esattamente uno zero di ordine uno nel dominio fondamentale.

3° teorema

Una funzione ellittica non costante assume ogni valore lo stesso numero di volte contate con molteplicità. ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda}$

Funzione Weierstrass${\displaystyle \wp}$

Una delle funzioni ellittiche più importanti è la funzione di Weierstrass . Per un dato reticolo di periodo è definito da ${\displaystyle \wp}$${\displaystyle\Lambda}$

${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1 }{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).}$

È costruito in modo tale da avere un polo di ordine due in ogni punto del reticolo. Il termine serve a far convergere la serie. ${\displaystyle -{\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$

${\displaystyle \wp}$è una funzione pari ellittica, il che significa . ${\displaystyle \wp (-z)=\wp (z)}$

Il suo derivato

${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda)^{3}}}}$

è una funzione dispari, cioè ${\displaystyle \wp '(-z)=-\wp '(z).}$

Uno dei principali risultati della teoria delle funzioni ellittiche è il seguente: Ogni funzione ellittica rispetto ad un dato reticolo di periodo può essere espressa come una funzione razionale in termini di e . ${\displaystyle\Lambda}$${\displaystyle \wp}$${\displaystyle \wp '}$

La -funzione soddisfa l' equazione differenziale${\displaystyle \wp}$

${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}.}$

${\displaystyle g_{2}}$e sono costanti che dipendono da . Più precisamente e , dove e sono le cosiddette serie di Eisenstein . ${\displaystyle g_{3}}$${\displaystyle\Lambda}$${\displaystyle g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60G_{4}(\omega _{1},\omega _{2})}$${\displaystyle g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140G_{6}(\omega _{1},\omega _{2})}$${\displaystyle G_{4}}$${\displaystyle G_{6}}$

In linguaggio algebrico: Il campo delle funzioni ellittiche è isomorfo al campo

${\displaystyle \mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})}$,

dove l'isomorfismo mappa to e to .${\displaystyle \wp}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \wp '}$${\displaystyle Y}$

• 

  Funzione di Weierstrass con reticolo di periodo${\displaystyle \wp}$${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} +e^{2\pi i/6}\mathbb {Z}}$

• 

  Derivata della -funzione ${\displaystyle \wp}$

Relazione con gli integrali ellittici

La relazione con gli integrali ellittici ha principalmente uno sfondo storico. Gli integrali ellittici erano stati studiati da Legendre , il cui lavoro fu ripreso da Niels Henrik Abel e Carl Gustav Jacobi .

Abel scoprì le funzioni ellittiche assumendo la funzione inversa della funzione integrale ellittica ${\displaystyle \varphi}$

${\displaystyle \alpha (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2 }t^{2})}}}}$

con . ${\displaystyle x=\varphi (\alpha )}$

Inoltre ha definito le funzioni

${\displaystyle f(\alpha )={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}$

e

${\displaystyle F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}$.

Dopo il proseguimento al piano complesso risultarono essere doppiamente periodiche e sono note come funzioni ellittiche di Abele .

Le funzioni ellittiche di Jacobi si ottengono similmente come funzioni inverse di integrali ellittici.

Jacobi ha considerato la funzione integrale

${\displaystyle \xi (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2 })}}}}$

e l'ho invertito: . sta per sinus amplitudinis ed è il nome della nuova funzione. Ha poi introdotto le funzioni cosinus amplitudinis e delta amplitudinis , che sono così definite: ${\displaystyle x=\nomeoperatore {sn} (\xi)}$${\displaystyle \nomeoperatore {sn} }$

${\displaystyle \operatorname {cn} (\xi):={\sqrt {1-x^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (\xi ):={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}$.

Solo facendo questo passo Jacobi poté provare la sua formula generale di trasformazione degli integrali ellittici nel 1827.

Storia

Poco dopo lo sviluppo del calcolo infinitesimale la teoria delle funzioni ellittiche fu iniziata dal matematico italiano Giulio di Fagnano e dal matematico svizzero Leonhard Euler . Quando hanno cercato di calcolare la lunghezza d'arco di una lemniscata hanno incontrato problemi con gli integrali che contenevano la radice quadrata dei polinomi di grado 3 e 4. Era chiaro che quei cosiddetti integrali ellittici non potevano essere risolti usando funzioni elementari. Fagnano osservò una relazione algebrica tra integrali ellittici, cosa che pubblicò nel 1750. Eulero generalizzò immediatamente i risultati di Fagnano e pose il suo teorema di addizione algebrica per integrali ellittici.

Fatta eccezione per un commento di Landen, le sue idee non furono perseguite fino al 1786, quando Legendre pubblicò il suo articolo Mémoires sur les intégrations par arcs d'ellipse . Legendre studiò successivamente gli integrali ellittici e li chiamò funzioni ellittiche . Legendre introdusse una triplice classificazione – tre tipi – che era una semplificazione cruciale della teoria piuttosto complicata dell'epoca. Altre importanti opere di Legendre sono: Mémoire sur les trascendentes elliptiques (1792), Exercices de calcul intégral (1811–1817), Traité des fonctions elliptiques (1825–1832). Il lavoro di Legendre è stato per lo più lasciato intatto dai matematici fino al 1826.

Successivamente, Niels Henrik Abel e Carl Gustav Jacobi ripresero le indagini e scoprirono rapidamente nuovi risultati. All'inizio hanno invertito la funzione integrale ellittica. Seguendo un suggerimento di Jacobi nel 1829, queste funzioni inverse sono ora chiamate funzioni ellittiche . Una delle opere più importanti di Jacobi è Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum che fu pubblicata nel 1829. Il teorema di addizione trovato da Eulero fu posto e dimostrato nella sua forma generale da Abele nel 1829. Si noti che a quei tempi la teoria delle funzioni ellittiche e la teoria del doppio le funzioni periodiche erano considerate teorie diverse. Furono riuniti da Briout e Bouquet nel 1856. Gauss scoprì molte delle proprietà delle funzioni ellittiche 30 anni prima, ma non pubblicò mai nulla sull'argomento.

Guarda anche

• Integrale ellittico
• Gruppo modulare
• Funzione theta di Ramanujan

Riferimenti

Letteratura

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ed. (1983) [giugno 1964]. "Capitolo 16" . Manuale di funzioni matematiche con formule, grafici e tabelle matematiche . Serie di matematica applicata. 55 (Nona ristampa con correzioni aggiuntive della decima tiratura originale con correzioni (dicembre 1972); prima ed.). Washington DC; New York: Dipartimento del Commercio degli Stati Uniti, National Bureau of Standards; Pubblicazioni di Dover. pp. 567, 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . MR  0167642 . LCCN  65-12253 . Vedi anche capitolo 18 . (considera solo il caso di invarianti reali).
• NI Akhiezer , Elementi della teoria delle funzioni ellittiche , (1970) Mosca, tradotto in inglese come AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN  0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol , Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory , Springer-Verlag, New York, 1976. ISBN  0-387-97127-0 (vedi capitolo 1).
• ET Whittaker e GN Watson . Un corso di analisi moderna , Cambridge University Press, 1952

link esterno

• "Funzione ellittica" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• MAA, Traduzione dell'articolo di Abele sulle funzioni ellittiche.
• Funzioni ellittiche e integrali ellittici su YouTube , conferenza di William A. Schwalm (4 ore)
• Johansson, Fredrik (2018). "Valutazione numerica di funzioni ellittiche, integrali ellittici e forme modulari". arXiv : 1806.06725 [ cs.NA ].