Proprietà di cancellazione - Cancellation property
In matematica , la nozione di cancellativo è una generalizzazione della nozione di invertibile .
Un elemento a in un magma ( M , ∗) ha la proprietà di cancellazione a sinistra (o è cancellativo a sinistra ) se per tutti b e c in M , a ∗ b = a ∗ c implica sempre che b = c .
Un elemento a in un magma ( M , ∗) ha la proprietà di cancellazione corretta (o è cancellativo a destra ) se per tutti b e c in M , b ∗ a = c ∗ a implica sempre che b = c .
Un elemento a in un magma ( M , ∗) ha la proprietà di cancellazione bilaterale (o è cancellativo ) se è cancellativo sia sinistro che destro.
Un magma ( M , ∗) ha la proprietà di cancellazione a sinistra (o è cancellativo a sinistra) se tutti gli a nel magma sono cancellativi a sinistra e definizioni simili si applicano per le proprietà cancellative a destra o bilaterali.
Un elemento invertibile a sinistra è cancellativo a sinistra e, analogamente, a destra ea due lati.
Ad esempio, ogni quasigruppo , e quindi ogni gruppo , è cancellativo.
Interpretazione
Dire che un elemento a in un magma ( M , ∗) è cancellativo a sinistra, significa che la funzione g : x ↦ a ∗ x è iniettiva . Che la funzione g sia iniettiva implica che data una qualche uguaglianza della forma a ∗ x = b , dove l'unica incognita è x , c'è un solo valore possibile di x che soddisfa l'uguaglianza. Più precisamente, possiamo definire una funzione f , l'inversa di g , tale che per ogni x f ( g ( x )) = f ( a ∗ x ) = x . In altre parole, per tutti x ed y in M , se un * x = a * y , allora x = y .
Esempi di monoidi e semigruppi cancellativi
Gli interi positivi (ugualmente non negativi) formano un semigruppo cancellativo sotto addizione. Gli interi non negativi formano un monoide cancellativo sotto addizione.
In effetti, qualsiasi semigruppo o monoide libero obbedisce alla legge cancellativa e, in generale, qualsiasi semigruppo o monoide incorporato in un gruppo (come fanno chiaramente gli esempi precedenti) obbedirà alla legge cancellativa.
In una vena diversa, (un sottogruppo di) il semigruppo moltiplicativo di elementi di un anello che non sono divisori zero (che è solo l'insieme di tutti gli elementi diversi da zero se l'anello in questione è un dominio , come gli interi) ha la proprietà di cancellazione . Si noti che questo rimane valido anche se l'anello in questione è non commutativo e / o non unitario.
Strutture algebriche non cancellative
Sebbene la legge di cancellazione valga per l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione di numeri reali e complessi (con la sola eccezione della moltiplicazione per zero e divisione di zero per un altro numero), ci sono un certo numero di strutture algebriche in cui la legge di cancellazione non è valida .
Il prodotto incrociato di due vettori non obbedisce alla legge di cancellazione. Se a × b = a × c , allora non segue che b = c anche se a ≠ 0 .
Anche la moltiplicazione di matrici non obbedisce necessariamente alla legge di cancellazione. Se AB = AC e A ≠ 0 , allora si deve mostrare che matrice A è invertibile (cioè ha det ( A ) ≠ 0 ) prima si può concludere che B = C . Se det ( A ) = 0 , allora B potrebbe non essere uguale a C , perché l' equazione di matrice AX = B non avrà una soluzione univoca per una matrice A non invertibile .
Si noti inoltre che se AB = CA e A ≠ 0 e la matrice A è invertibile (cioè ha det ( A ) ≠ 0 ), non è necessariamente vero che B = C . La cancellazione funziona solo per AB = AC e BA = CA (a condizione che la matrice A sia invertibile ) e non per AB = CA e BA = AC .