Campo algebricamente chiuso - Algebraically closed field

In matematica , un campo F è algebricamente chiuso se ogni polinomio non costante in F [ x ] (l' anello polinomiale univariato con coefficienti in F ) ha radice in F .

Esempi

Ad esempio, il campo dei numeri reali non è algebricamente chiuso, perché l'equazione polinomiale x ²  + 1 = 0 non ha soluzione nei numeri reali, anche se tutti i suoi coefficienti (1 e 0) sono reali. Lo stesso argomento dimostra che nessun sottocampo del campo reale è algebricamente chiuso; in particolare, il campo dei numeri razionali non è algebricamente chiuso. Inoltre, nessun campo finito F è algebricamente chiuso, perché se a ₁ , a ₂ , ..., a _n sono gli elementi di F , allora il polinomio ( x  −  a ₁ )( x  −  a ₂ ) ⋯ ( x  −  a _n ) + 1 non ha zero in F . Al contrario, il teorema fondamentale dell'algebra afferma che il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso. Un altro esempio di campo algebricamente chiuso è il campo dei numeri algebrici (complessi) .

Proprietà equivalenti

Dato un campo F , l'asserzione " F è algebricamente chiuso" è equivalente ad altre asserzioni:

Gli unici polinomi irriducibili sono quelli di primo grado

Il campo F è algebricamente chiuso se e solo se il solo polinomi irriducibili nella polinomi F [ x ] sono quelli di un grado.

L'affermazione "i polinomi di grado uno sono irriducibili" è banalmente vera per qualsiasi campo. Se F è algebricamente chiuso e p ( x ) è un polinomio irriducibile di F [ x ], allora ha qualche radice a e quindi p ( x ) è un multiplo di x  −  a . Poiché p ( x ) è irriducibile, ciò significa che p ( x ) =  k ( x  −  a ), per qualche k  ∈  F  \ {0}. D'altra parte, se F non è algebricamente chiuso, allora esiste un polinomio non costante p ( x ) in F [ x ] senza radici in F . Sia q ( x ) un fattore irriducibile di p ( x ). Poiché p ( x ) non ha radici in F , anche q ( x ) non ha radici in F . Quindi q ( x ) ha grado maggiore di uno, poiché ogni polinomio di primo grado ha una radice in F .

Ogni polinomio è un prodotto di polinomi di primo grado

Il campo F è algebricamente chiuso se e solo se ogni polinomio p ( x ) di grado n  ≥ 1, con coefficienti in F , si scompone in fattori lineari . In altre parole, esistono elementi k ,  x ₁ ,  x ₂ , ...,  x _n del campo F tali che p ( x ) =  k ( x  −  x ₁ )( x  −  x ₂ ) ⋯ ( x  −  x _n ).

Se F ha questa proprietà, allora chiaramente ogni polinomio non costante in F [ x ] ha qualche radice in F ; in altre parole, F è algebricamente chiuso. D'altra parte, che la proprietà qui enunciata vale per F se F è algebricamente chiuso segue dalla proprietà precedente insieme al fatto che, per ogni campo K , ogni polinomio in K [ x ] può essere scritto come prodotto di polinomi irriducibili .

I polinomi di primo grado hanno radici

Se ogni polinomio su F di primo grado ha radice in F , allora ogni polinomio non costante ha radice in F . Ne segue che un campo è algebricamente chiuso se e solo se ogni polinomio su F di primo grado ha radice in F .

Il campo non ha estensione algebrica propria

Il campo F è algebricamente chiuso se e solo se non ha estensione algebrica propria .

Se F non ha estensione algebrica propria, sia p ( x ) un polinomio irriducibile in F [ x ]. Allora il quoziente di F [ x ] modulo l' ideale generato da p ( x ) è un'estensione algebrica di F il cui grado è uguale al grado di p ( x ). Poiché non è un'estensione propria, il suo grado è 1 e quindi il grado di p ( x ) è 1.

D'altra parte, se F ha qualche estensione algebrica propria K , allora il polinomio minimo di un elemento in K  \  F è irriducibile e il suo grado è maggiore di 1.

Il campo non ha estensione finita propria

Il campo F è algebricamente chiuso se e solo se non ha estensione finita propria perché se, nella dimostrazione precedente , il termine "estensione algebrica" ​​è sostituito dal termine "estensione finita", allora la dimostrazione è ancora valida. (Si noti che le estensioni finite sono necessariamente algebriche.)

Ogni endomorfismo di F ⁿ ha un autovettore

Il campo F è algebricamente chiuso se e solo se, per ogni numero naturale n , ogni applicazione lineare da F ⁿ in se stessa ha qualche autovettore .

Un endomorfismo di F ⁿ ha un autovettore se e solo se il suo polinomio caratteristico ha qualche radice. Pertanto, quando F è algebricamente chiuso, ogni endomorfismo di F ⁿ ha un autovettore. Se invece ogni endomorfismo di F ⁿ ha un autovettore, sia p ( x ) un elemento di F [ x ]. Dividendo per il suo coefficiente principale, otteniamo un altro polinomio q ( x ) che ha radici se e solo se p ( x ) ha radici. Ma se q ( x ) =  x ⁿ  +  a _{n  − 1} x ^{n  − 1} + ⋯ +  a ₀ , allora q ( x ) è il polinomio caratteristico della matrice compagna n×n

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}.}$

Scomposizione di espressioni razionali

Il campo F è algebricamente chiuso se e solo se ogni funzione razionale in una variabile x , con coefficienti in F , può essere scritta come somma di una funzione polinomiale con funzioni razionali della forma a /( x  −  b ) ⁿ , dove n è un numero naturale, e un e b sono elementi di F .

Se F è algebricamente chiuso allora, poiché i polinomi irriducibili in F [ x ] sono tutti di grado 1, vale la proprietà sopra enunciata per il teorema sulla scomposizione parziale delle frazioni .

Supponiamo invece che valga la proprietà sopra indicata per il campo F . Sia p ( x ) un elemento irriducibile in F [ x ]. Allora la funzione razionale 1/ p può essere scritta come somma di una funzione polinomiale q con funzioni razionali della forma a /( x  −  b ) ⁿ . Pertanto, l'espressione razionale

${\displaystyle {\frac {1}{p(x)}}-q(x)={\frac {1-p(x)q(x)}{p(x)}}}$

può essere scritto come quoziente di due polinomi in cui il denominatore è un prodotto di polinomi di primo grado. Poiché p ( x ) è irriducibile, deve dividere questo prodotto e, quindi, deve essere anche un polinomio di primo grado.

Polinomi e radici relativamente primi

Per ogni campo F , se due polinomi p ( x ), q ( x ) ∈  F [ x ] sono relativamente primi allora non hanno una radice comune, perché se a  ∈  F fosse una radice comune, allora  p ( x ) e   q ( x ) sarebbero entrambi multipli di x  −  a e quindi non sarebbero primi tra loro. I campi per i quali vale l'implicazione inversa (cioè i campi tali che ogni volta che due polinomi non hanno radice comune allora sono relativamente primi) sono precisamente i campi algebricamente chiusi.

Se il campo F è algebricamente chiuso, siano p ( x ) eq ( x ) due polinomi non primi tra loro e sia r ( x ) il loro massimo comun divisore . Quindi, poiché r ( x ) non è costante, avrà qualche radice a , che sarà quindi una radice comune di p ( x ) eq ( x ).

Se F non è algebricamente chiuso, sia p ( x ) un polinomio di grado almeno 1 senza radici. Allora p ( x ) e p ( x ) non sono relativamente primi, ma non hanno radici comuni (poiché nessuno di loro ha radici).

Altre proprietà

Se F è un campo algebricamente chiuso ed n è un numero naturale, allora F contiene tutte le n- esime radici dell'unità, perché queste sono (per definizione) gli n (non necessariamente distinti) zeri del polinomio x ⁿ  − 1. Un'estensione di campo ciò che è contenuto in un'estensione generata dalle radici dell'unità è un'estensione ciclotomica , e l'estensione di un campo generato da tutte le radici dell'unità è talvolta chiamata la sua chiusura ciclotomica . Quindi i campi algebricamente chiusi sono chiusi ciclotomicamente. Non è vero il contrario. Anche supponendo che ogni polinomio della forma x ⁿ  −  a si scomponga in fattori lineari non è sufficiente ad assicurare che il campo sia algebricamente chiuso.

Se una proposizione che può essere espressa nel linguaggio della logica del primo ordine è vera per un campo algebricamente chiuso, allora è vera per ogni campo algebricamente chiuso con la stessa caratteristica . Inoltre, se tale proposizione è valida per un campo algebricamente chiuso con caratteristica 0, allora non solo è valida per tutti gli altri campi algebricamente chiusi con caratteristica 0, ma esiste un numero naturale N tale che la proposizione è valida per ogni algebricamente chiuso campo con caratteristica  p quando p  >  N .

Ogni campo F ha un'estensione algebricamente chiusa. Tale estensione è detta estensione algebricamente chiusa . Tra tutte queste estensioni ce n'è una ed una sola ( fino all'isomorfismo , ma non all'isomorfismo unico ) che è un'estensione algebrica di F ; si chiama chiusura algebrica di F .

La teoria dei campi algebricamente chiusi prevede l' eliminazione dei quantificatori .

Appunti

Riferimenti